Математический анализ Примеры

$\sin^{2} (x) \cdot \cos^{3} (x)$

Этап 1

Запишем $\sin^{2} (x) \cdot \cos^{3} (x)$ в виде функции.

$f (x) = \sin^{2} (x) \cdot \cos^{3} (x)$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \sin^{2} (x) \cdot \cos^{3} (x) d x$

Этап 4

Вынесем $\cos^{2} (x)$ за скобки.

$\int \sin^{2} (x) \cdot (\cos^{2} (x) \cos (x)) d x$

Этап 5

Используя формулы Пифагора, запишем $\cos^{2} (x)$ в виде $1 - \sin^{2} (x)$ .

$\int \sin^{2} (x) \cdot ((1 - \sin^{2} (x)) \cos (x)) d x$

Этап 6

Умножим $\sin^{2} (x)$ на $1 - \sin^{2} (x)$ .

$\int \sin^{2} (x) (1 - \sin^{2} (x)) \cos (x) d x$

Этап 7

Пусть $u = \sin (x)$ . Тогда $d u = \cos (x) d x$ , следовательно $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Пусть $u = \sin (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Дифференцируем $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 7.1.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Этап 7.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int u^{2} (1 - u^{2}) d u$

Этап 8

Умножим $u^{2} (1 - u^{2})$ .

$\int u^{2} \cdot 1 + u^{2} (- u^{2}) d u$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Умножим $u^{2}$ на $1$ .

$\int u^{2} + u^{2} (- u^{2}) d u$

Этап 9.2

Умножим $u^{2}$ на $u^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Перенесем $u^{2}$ .

$\int u^{2} + u^{2} u^{2} \cdot - 1 d u$

Этап 9.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int u^{2} + u^{2 + 2} \cdot - 1 d u$

Этап 9.2.3

Добавим $2$ и $2$ .

$\int u^{2} + u^{4} \cdot - 1 d u$

Этап 9.3

Перенесем $- 1$ влево от $u^{4}$ .

$\int u^{2} - 1 \cdot u^{4} d u$

Этап 9.4

Перепишем $- 1 u^{4}$ в виде $- u^{4}$ .

$\int u^{2} - u^{4} d u$

Этап 10

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int u^{2} d u + \int - u^{4} d u$

Этап 11

По правилу степени интеграл $u^{2}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C + \int - u^{4} d u$

Этап 12

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} u^{3} + C - \int u^{4} d u$

Этап 13

По правилу степени интеграл $u^{4}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C - (\frac{1}{5} u^{5} + C)$

Этап 14

Упростим.

$\frac{1}{3} u^{3} - \frac{1}{5} u^{5} + C$

Этап 15

Заменим все вхождения $u$ на $\sin (x)$ .

$\frac{1}{3} \sin^{3} (x) - \frac{1}{5} \sin^{5} (x) + C$

Этап 16

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \sin^{2} (x) \cdot \cos^{3} (x)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{3} \sin^{3} (x) - \frac{1}{5} \sin^{5} (x) + C$