Математический анализ Примеры

$\int \frac{2 x^{3} + x^{2} - 21 x + 24}{x^{2} + 2 x - 8} d x$

Этап 1

Запишем дробь, используя разложение на элементарные дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим, используя метод деления многочленов в столбик.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x^{2}$

$2 x$

$8$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$21 x$

$24$

Этап 1.1.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $2 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x^{2}$ .

$2 x$

$x^{2}$

$2 x$

$8$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$21 x$

$24$

Этап 1.1.3

Умножим новое частное на делитель.

$2 x$

$x^{2}$

$2 x$

$8$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$21 x$

$24$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$16 x$

Этап 1.1.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $2 x^{3} + 4 x^{2} - 16 x$ .

$2 x$

$x^{2}$

$2 x$

$8$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$21 x$

$24$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$16 x$

Этап 1.1.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$2 x$

$x^{2}$

$2 x$

$8$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$21 x$

$24$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$16 x$

$3 x^{2}$

$5 x$

Этап 1.1.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$2 x$

$x^{2}$

$2 x$

$8$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$21 x$

$24$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$16 x$

$3 x^{2}$

$5 x$

$24$

Этап 1.1.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 3 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x^{2}$ .

						$2 x$	-	$3$
$x^{2}$	+	$2 x$	-	$8$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$21 x$	+	$24$
					-	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$16 x$
							-	$3 x^{2}$	-	$5 x$	+	$24$

Этап 1.1.8

Умножим новое частное на делитель.

						$2 x$	-	$3$
$x^{2}$	+	$2 x$	-	$8$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$21 x$	+	$24$
					-	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$16 x$
							-	$3 x^{2}$	-	$5 x$	+	$24$
							-	$3 x^{2}$	-	$6 x$	+	$24$

Этап 1.1.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 3 x^{2} - 6 x + 24$ .

$2 x$

$3$

$x^{2}$

$2 x$

$8$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$21 x$

$24$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$16 x$

$3 x^{2}$

$5 x$

$24$

$3 x^{2}$

$6 x$

$24$

Этап 1.1.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$2 x$

$3$

$x^{2}$

$2 x$

$8$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$21 x$

$24$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$16 x$

$3 x^{2}$

$5 x$

$24$

$3 x^{2}$

$6 x$

$24$

$x$

$0$

Этап 1.1.11

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$2 x - 3 + \frac{x}{x^{2} + 2 x - 8}$

Этап 1.2

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Разложим $x^{2} + 2 x - 8$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 8$ , а сумма — $2$ .

$- 2, 4$

Этап 1.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{x}{(x - 2) (x + 4)}$

Этап 1.2.2

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $A$ .

$\frac{A}{x - 2}$

Этап 1.2.3

$\frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x + 4}$

Этап 1.2.4

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $(x - 2) (x + 4)$ .

$\frac{x (x - 2) (x + 4)}{(x - 2) (x + 4)} = \frac{(A) (x - 2) (x + 4)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x + 4)}{x + 4}$

Этап 1.2.5

Сократим общий множитель $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x (x - 2) (x + 4)}{(x - 2) (x + 4)} = \frac{(A) (x - 2) (x + 4)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x + 4)}{x + 4}$

Этап 1.2.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x (x + 4)}{x + 4} = \frac{(A) (x - 2) (x + 4)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x + 4)}{x + 4}$

Этап 1.2.6

Сократим общий множитель $x + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x (x + 4)}{x + 4} = \frac{(A) (x - 2) (x + 4)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x + 4)}{x + 4}$

Этап 1.2.6.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{(A) (x - 2) (x + 4)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x + 4)}{x + 4}$

Этап 1.2.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1

Сократим общий множитель $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1.1

Сократим общий множитель.

$x = \frac{A (x - 2) (x + 4)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x + 4)}{x + 4}$

Этап 1.2.7.1.2

Разделим $(A) (x + 4)$ на $1$ .

$x = (A) (x + 4) + \frac{(B) (x - 2) (x + 4)}{x + 4}$

Этап 1.2.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x = A x + A \cdot 4 + \frac{(B) (x - 2) (x + 4)}{x + 4}$

Этап 1.2.7.3

Перенесем $4$ влево от $A$ .

$x = A x + 4 \cdot A + \frac{(B) (x - 2) (x + 4)}{x + 4}$

Этап 1.2.7.4

Сократим общий множитель $x + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.4.1

Сократим общий множитель.

$x = A x + 4 A + \frac{(B) (x - 2) (x + 4)}{x + 4}$

Этап 1.2.7.4.2

Разделим $(B) (x - 2)$ на $1$ .

$x = A x + 4 A + (B) (x - 2)$

Этап 1.2.7.5

Применим свойство дистрибутивности.

$x = A x + 4 A + B x + B \cdot - 2$

Этап 1.2.7.6

Перенесем $- 2$ влево от $B$ .

$x = A x + 4 A + B x - 2 B$

Этап 1.2.8

Перенесем $4 A$ .

$x = A x + B x + 4 A - 2 B$

Этап 1.3

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$1 = A + B$

Этап 1.3.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = 4 A - 2 B$

Этап 1.3.3

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$1 = A + B$

$0 = 4 A - 2 B$

$1 = A + B$

$0 = 4 A - 2 B$

Этап 1.4

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Решим относительно $A$ в $1 = A + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Перепишем уравнение в виде $A + B = 1$ .

$A + B = 1$

$0 = 4 A - 2 B$

Этап 1.4.1.2

Вычтем $B$ из обеих частей уравнения.

$A = 1 - B$

$0 = 4 A - 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = 4 A - 2 B$

Этап 1.4.2

Заменим все вхождения $A$ на $1 - B$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $0 = 4 A - 2 B$ на $1 - B$ .

$0 = 4 (1 - B) - 2 B$

$A = 1 - B$

Этап 1.4.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1

Упростим $4 (1 - B) - 2 B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$0 = 4 \cdot 1 + 4 (- B) - 2 B$

$A = 1 - B$

Этап 1.4.2.2.1.1.2

Умножим $4$ на $1$ .

$0 = 4 + 4 (- B) - 2 B$

$A = 1 - B$

Этап 1.4.2.2.1.1.3

Умножим $- 1$ на $4$ .

$0 = 4 - 4 B - 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = 4 - 4 B - 2 B$

$A = 1 - B$

Этап 1.4.2.2.1.2

Вычтем $2 B$ из $- 4 B$ .

$0 = 4 - 6 B$

$A = 1 - B$

$0 = 4 - 6 B$

$A = 1 - B$

$0 = 4 - 6 B$

$A = 1 - B$

$0 = 4 - 6 B$

$A = 1 - B$

Этап 1.4.3

Решим относительно $B$ в $0 = 4 - 6 B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1

Перепишем уравнение в виде $4 - 6 B = 0$ .

$4 - 6 B = 0$

$A = 1 - B$

Этап 1.4.3.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$- 6 B = - 4$

$A = 1 - B$

Этап 1.4.3.3

Разделим каждый член $- 6 B = - 4$ на $- 6$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.3.1

Разделим каждый член $- 6 B = - 4$ на $- 6$ .

$\frac{- 6 B}{- 6} = \frac{- 4}{- 6}$

$A = 1 - B$

Этап 1.4.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.3.2.1

Сократим общий множитель $- 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 6 B}{- 6} = \frac{- 4}{- 6}$

$A = 1 - B$

Этап 1.4.3.3.2.1.2

Разделим $B$ на $1$ .

$B = \frac{- 4}{- 6}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{- 4}{- 6}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{- 4}{- 6}$

$A = 1 - B$

Этап 1.4.3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.3.3.1

Сократим общий множитель $- 4$ и $- 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.3.3.1.1

Вынесем множитель $- 2$ из $- 4$ .

$B = \frac{- 2 \cdot 2}{- 6}$

$A = 1 - B$

Этап 1.4.3.3.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.3.3.1.2.1

Вынесем множитель $- 2$ из $- 6$ .

$B = \frac{- 2 \cdot 2}{- 2 \cdot 3}$

$A = 1 - B$

Этап 1.4.3.3.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$B = \frac{- 2 \cdot 2}{- 2 \cdot 3}$

$A = 1 - B$

Этап 1.4.3.3.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$B = \frac{2}{3}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{2}{3}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{2}{3}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{2}{3}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{2}{3}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{2}{3}$

$A = 1 - B$

Этап 1.4.4

Заменим все вхождения $B$ на $\frac{2}{3}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.4.1

Заменим все вхождения $B$ в $A = 1 - B$ на $\frac{2}{3}$ .

$A = 1 - (\frac{2}{3})$

$B = \frac{2}{3}$

Этап 1.4.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.4.2.1

Упростим $1 - (\frac{2}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.4.2.1.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$A = \frac{3}{3} - \frac{2}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

Этап 1.4.4.2.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$A = \frac{3 - 2}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

Этап 1.4.4.2.1.3

Вычтем $2$ из $3$ .

$A = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

Этап 1.4.5

Перечислим все решения.

$A = \frac{1}{3}, B = \frac{2}{3}$

Этап 1.5

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $2 x - 3 + \frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x + 4}$ значениями, найденными для $A$ и $B$ .

$2 x - 3 + \frac{\frac{1}{3}}{x - 2} + \frac{\frac{2}{3}}{x + 4}$

Этап 1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$2 x - 3 + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x - 2} + \frac{\frac{2}{3}}{x + 4}$

Этап 1.6.2

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{1}{x - 2}$ .

$2 x - 3 + \frac{1}{3 (x - 2)} + \frac{\frac{2}{3}}{x + 4}$

Этап 1.6.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$2 x - 3 + \frac{1}{3 (x - 2)} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x + 4}$

Этап 1.6.4

Умножим $\frac{2}{3}$ на $\frac{1}{x + 4}$ .

$\int 2 x - 3 + \frac{1}{3 (x - 2)} + \frac{2}{3 (x + 4)} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 2 x d x + \int - 3 d x + \int \frac{1}{3 (x - 2)} d x + \int \frac{2}{3 (x + 4)} d x$

Этап 3

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int x d x + \int - 3 d x + \int \frac{1}{3 (x - 2)} d x + \int \frac{2}{3 (x + 4)} d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 3 d x + \int \frac{1}{3 (x - 2)} d x + \int \frac{2}{3 (x + 4)} d x$

Этап 5

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 3 x + C + \int \frac{1}{3 (x - 2)} d x + \int \frac{2}{3 (x + 4)} d x$

Этап 6

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 3 x + C + \int \frac{1}{3 (x - 2)} d x + \int \frac{2}{3 (x + 4)} d x$

Этап 7

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 3 x + C + \frac{1}{3} \int \frac{1}{x - 2} d x + \int \frac{2}{3 (x + 4)} d x$

Этап 8

Пусть $u_{1} = x - 2$ . Тогда $d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Пусть $u_{1} = x - 2$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Дифференцируем $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Этап 8.1.2

По правилу суммы производная $x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 8.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 8.1.4

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 8.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 8.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 3 x + C + \frac{1}{3} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{2}{3 (x + 4)} d x$

Этап 9

Интеграл $\frac{1}{u_{1}}$ по $u_{1}$ имеет вид $\ln (| u_{1} |)$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 3 x + C + \frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{2}{3 (x + 4)} d x$

Этап 10

Поскольку $\frac{2}{3}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{2}{3}$ из-под знака интеграла.

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 3 x + C + \frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{2}{3} \int \frac{1}{x + 4} d x$

Этап 11

Пусть $u_{2} = x + 4$ . Тогда $d u_{2} = d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Пусть $u_{2} = x + 4$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Дифференцируем $x + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x + 4]$

Этап 11.1.2

По правилу суммы производная $x + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 11.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 11.1.4

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 11.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 11.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 3 x + C + \frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{2}{3} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 12

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 3 x + C + \frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{2}{3} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Этап 13

Упростим.

$x^{2} - 3 x + \frac{\ln (| u_{1} |)}{3} + \frac{2}{3} \ln (| u_{2} |) + C$

Этап 14

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x - 2$ .

$x^{2} - 3 x + \frac{\ln (| x - 2 |)}{3} + \frac{2}{3} \ln (| u_{2} |) + C$

Этап 14.2

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x + 4$ .

$x^{2} - 3 x + \frac{\ln (| x - 2 |)}{3} + \frac{2}{3} \ln (| x + 4 |) + C$

Этап 15

Изменим порядок членов.

$x^{2} - 3 x + \frac{1}{3} \ln (| x - 2 |) + \frac{2}{3} \ln (| x + 4 |) + C$