Математический анализ Примеры

$y = (1 + a t) {(c t)}^{- 2}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ имеет вид $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , где $f (t) = 1 + a t$ и $g (t) = {(c t)}^{- 2}$ .

$(1 + a t) \frac{d}{d t} [{(c t)}^{- 2}] + {(c t)}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + a t]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = t^{- 2}$ и $g (t) = c t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $c t$ .

$(1 + a t) (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d t} [c t]) + {(c t)}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + a t]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 2$ .

$(1 + a t) (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d t} [c t]) + {(c t)}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + a t]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $c t$ .

$(1 + a t) (- 2 {(c t)}^{- 3} \frac{d}{d t} [c t]) + {(c t)}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + a t]$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $c$ является константой относительно $t$ , производная $c t$ по $t$ равна $c \frac{d}{d t} [t]$ .

$(1 + a t) (- 2 {(c t)}^{- 3} (c \frac{d}{d t} [t])) + {(c t)}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + a t]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(1 + a t) (- 2 {(c t)}^{- 3} (c \cdot 1)) + {(c t)}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + a t]$

Этап 3.3

Умножим $c$ на $1$ .

$(1 + a t) (- 2 {(c t)}^{- 3} c) + {(c t)}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + a t]$

Этап 3.4

По правилу суммы производная $1 + a t$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [a t]$ .

$(1 + a t) (- 2 {(c t)}^{- 3} c) + {(c t)}^{- 2} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [a t])$

Этап 3.5

Поскольку $1$ является константой относительно $t$ , производная $1$ относительно $t$ равна $0$ .

$(1 + a t) (- 2 {(c t)}^{- 3} c) + {(c t)}^{- 2} (0 + \frac{d}{d t} [a t])$

Этап 3.6

Добавим $0$ и $\frac{d}{d t} [a t]$ .

$(1 + a t) (- 2 {(c t)}^{- 3} c) + {(c t)}^{- 2} \frac{d}{d t} [a t]$

Этап 3.7

Поскольку $a$ является константой относительно $t$ , производная $a t$ по $t$ равна $a \frac{d}{d t} [t]$ .

$(1 + a t) (- 2 {(c t)}^{- 3} c) + {(c t)}^{- 2} (a \frac{d}{d t} [t])$

Этап 3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(1 + a t) (- 2 {(c t)}^{- 3} c) + {(c t)}^{- 2} a \cdot 1$

Этап 3.9

Умножим ${(c t)}^{- 2}$ на $1$ .

$(1 + a t) (- 2 {(c t)}^{- 3} c) + a \cdot {(c t)}^{- 2}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим правило умножения к $c t$ .

$(1 + a t) (- 2 (c^{- 3} t^{- 3}) c) + a {(c t)}^{- 2}$

Этап 4.2

Применим правило умножения к $c t$ .

$(1 + a t) (- 2 (c^{- 3} t^{- 3}) c) + a (c^{- 2} t^{- 2})$

Этап 4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$1 (- 2 (c^{- 3} t^{- 3}) c) + a t (- 2 (c^{- 3} t^{- 3}) c) + a (c^{- 2} t^{- 2})$

Этап 4.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Возведем $c$ в степень $1$ .

$1 (- 2 (c^{1} c^{- 3}) t^{- 3}) + a t (- 2 (c^{- 3} t^{- 3}) c) + a (c^{- 2} t^{- 2})$

Этап 4.4.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$1 (- 2 c^{1 - 3} t^{- 3}) + a t (- 2 (c^{- 3} t^{- 3}) c) + a (c^{- 2} t^{- 2})$

Этап 4.4.3

Вычтем $3$ из $1$ .

$1 (- 2 c^{- 2} t^{- 3}) + a t (- 2 (c^{- 3} t^{- 3}) c) + a (c^{- 2} t^{- 2})$

Этап 4.4.4

Умножим $- 2$ на $1$ .

$- 2 (c^{- 2} t^{- 3}) + a t (- 2 (c^{- 3} t^{- 3}) c) + a (c^{- 2} t^{- 2})$

Этап 4.4.5

Возведем $c$ в степень $1$ .

$- 2 c^{- 2} t^{- 3} + a t (- 2 (c^{1} c^{- 3}) t^{- 3}) + a (c^{- 2} t^{- 2})$

Этап 4.4.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 2 c^{- 2} t^{- 3} + a t (- 2 c^{1 - 3} t^{- 3}) + a (c^{- 2} t^{- 2})$

Этап 4.4.7

Вычтем $3$ из $1$ .

$- 2 c^{- 2} t^{- 3} + a t (- 2 c^{- 2} t^{- 3}) + a (c^{- 2} t^{- 2})$

Этап 4.4.8

Возведем $t$ в степень $1$ .

$- 2 c^{- 2} t^{- 3} + a (- 2 c^{- 2} (t^{1} t^{- 3})) + a (c^{- 2} t^{- 2})$

Этап 4.4.9

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 2 c^{- 2} t^{- 3} + a (- 2 c^{- 2} t^{1 - 3}) + a (c^{- 2} t^{- 2})$

Этап 4.4.10

Вычтем $3$ из $1$ .

$- 2 c^{- 2} t^{- 3} + a (- 2 c^{- 2} t^{- 2}) + a (c^{- 2} t^{- 2})$

Этап 4.4.11

Добавим $a (- 2 c^{- 2} t^{- 2})$ и $a c^{- 2} t^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.11.1

Изменим порядок $a$ и $- 2$ .

$- 2 c^{- 2} t^{- 3} - 2 \cdot a c^{- 2} t^{- 2} + a c^{- 2} t^{- 2}$

Этап 4.4.11.2

Добавим $- 2 \cdot a c^{- 2} t^{- 2}$ и $a c^{- 2} t^{- 2}$ .

$- 2 c^{- 2} t^{- 3} - a c^{- 2} t^{- 2}$

Этап 4.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{c^{2}} t^{- 3} - a c^{- 2} t^{- 2}$

Этап 4.5.2

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{c^{2}}$ .

$\frac{- 2}{c^{2}} t^{- 3} - a c^{- 2} t^{- 2}$

Этап 4.5.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2}{c^{2}} t^{- 3} - a c^{- 2} t^{- 2}$

Этап 4.5.4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{2}{c^{2}} \cdot \frac{1}{t^{3}} - a c^{- 2} t^{- 2}$

Этап 4.5.5

Умножим $\frac{1}{t^{3}}$ на $\frac{2}{c^{2}}$ .

$- \frac{2}{t^{3} c^{2}} - a c^{- 2} t^{- 2}$

Этап 4.5.6

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{2}{t^{3} c^{2}} - a \frac{1}{c^{2}} t^{- 2}$

Этап 4.5.7

Объединим $\frac{1}{c^{2}}$ и $a$ .

$- \frac{2}{t^{3} c^{2}} - \frac{a}{c^{2}} t^{- 2}$

Этап 4.5.8

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{2}{t^{3} c^{2}} - \frac{a}{c^{2}} \cdot \frac{1}{t^{2}}$

Этап 4.5.9

Умножим $\frac{1}{t^{2}}$ на $\frac{a}{c^{2}}$ .

$- \frac{2}{t^{3} c^{2}} - \frac{a}{t^{2} c^{2}}$