Математический анализ Примеры

$\int 4 x (2 x - 3) (3 x + 1) d x$

Этап 1

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$4 \int (x (2 x - 3)) (3 x + 1) d x$

Этап 2

Пусть $u = 3 x + 1$ . Тогда $d u = 3 d x$ , следовательно $\frac{1}{3} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = 3 x + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $3 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + 1]$

Этап 2.1.2

По правилу суммы производная $3 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.1.3.3

Умножим $3$ на $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [1]$

$3 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 + 0$

Этап 2.1.4.2

Добавим $3$ и $0$ .

$3$

$3$

$3$

Этап 2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$4 \int (\frac{u}{3} - \frac{1}{3}) (2 (\frac{u}{3} - \frac{1}{3}) - 3) u \frac{1}{3} d u$

$4 \int (\frac{u}{3} - \frac{1}{3}) (2 (\frac{u}{3} - \frac{1}{3}) - 3) u \frac{1}{3} d u$

Этап 3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $u$ .

$4 \int (\frac{u}{3} - \frac{1}{3}) (2 (\frac{u}{3} - \frac{1}{3}) - 3) \frac{u}{3} d u$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 \int (\frac{u}{3} - \frac{1}{3}) (2 \frac{u}{3} + 2 (- \frac{1}{3}) - 3) \frac{u}{3} d u$

Этап 4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$4 \int (\frac{u}{3} (2 \frac{u}{3} + 2 (- \frac{1}{3}) - 3) - \frac{1}{3} (2 \frac{u}{3} + 2 (- \frac{1}{3}) - 3)) \frac{u}{3} d u$

Этап 4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$4 \int (\frac{u}{3} (2 \frac{u}{3} + 2 (- \frac{1}{3})) + \frac{u}{3} \cdot - 3 - \frac{1}{3} (2 \frac{u}{3} + 2 (- \frac{1}{3}) - 3)) \frac{u}{3} d u$

Этап 4.4

Применим свойство дистрибутивности.

$4 \int (\frac{u}{3} (2 \frac{u}{3}) + \frac{u}{3} (2 (- \frac{1}{3})) + \frac{u}{3} \cdot - 3 - \frac{1}{3} (2 \frac{u}{3} + 2 (- \frac{1}{3}) - 3)) \frac{u}{3} d u$

Этап 4.5

Применим свойство дистрибутивности.

$4 \int (\frac{u}{3} (2 \frac{u}{3}) + \frac{u}{3} (2 (- \frac{1}{3})) + \frac{u}{3} \cdot - 3 - \frac{1}{3} (2 \frac{u}{3} + 2 (- \frac{1}{3})) - \frac{1}{3} \cdot - 3) \frac{u}{3} d u$

Этап 4.6

Применим свойство дистрибутивности.

$4 \int (\frac{u}{3} (2 \frac{u}{3}) + \frac{u}{3} (2 (- \frac{1}{3})) + \frac{u}{3} \cdot - 3 - \frac{1}{3} (2 \frac{u}{3}) - \frac{1}{3} (2 (- \frac{1}{3})) - \frac{1}{3} \cdot - 3) \frac{u}{3} d u$

Этап 4.7

Применим свойство дистрибутивности.

$4 \int (\frac{u}{3} (2 \frac{u}{3}) + \frac{u}{3} (2 (- \frac{1}{3})) + \frac{u}{3} \cdot - 3) \frac{u}{3} + (- \frac{1}{3} (2 \frac{u}{3}) - \frac{1}{3} (2 (- \frac{1}{3})) - \frac{1}{3} \cdot - 3) \frac{u}{3} d u$

Этап 4.8

Применим свойство дистрибутивности.

$4 \int (\frac{u}{3} (2 \frac{u}{3}) + \frac{u}{3} (2 (- \frac{1}{3}))) \frac{u}{3} + \frac{u}{3} \cdot - 3 \frac{u}{3} + (- \frac{1}{3} (2 \frac{u}{3}) - \frac{1}{3} (2 (- \frac{1}{3})) - \frac{1}{3} \cdot - 3) \frac{u}{3} d u$

Этап 4.9

Применим свойство дистрибутивности.

$4 \int \frac{u}{3} (2 \frac{u}{3}) \frac{u}{3} + \frac{u}{3} (2 (- \frac{1}{3})) \frac{u}{3} + \frac{u}{3} \cdot - 3 \frac{u}{3} + (- \frac{1}{3} (2 \frac{u}{3}) - \frac{1}{3} (2 (- \frac{1}{3})) - \frac{1}{3} \cdot - 3) \frac{u}{3} d u$

Этап 4.10

Применим свойство дистрибутивности.

$4 \int \frac{u}{3} (2 \frac{u}{3}) \frac{u}{3} + \frac{u}{3} (2 (- \frac{1}{3})) \frac{u}{3} + \frac{u}{3} \cdot - 3 \frac{u}{3} + (- \frac{1}{3} (2 \frac{u}{3}) - \frac{1}{3} (2 (- \frac{1}{3}))) \frac{u}{3} - \frac{1}{3} \cdot - 3 \frac{u}{3} d u$

Этап 4.11

Применим свойство дистрибутивности.

$4 \int \frac{u}{3} (2 \frac{u}{3}) \frac{u}{3} + \frac{u}{3} (2 (- \frac{1}{3})) \frac{u}{3} + \frac{u}{3} \cdot - 3 \frac{u}{3} - \frac{1}{3} (2 \frac{u}{3}) \frac{u}{3} - \frac{1}{3} (2 (- \frac{1}{3})) \frac{u}{3} - \frac{1}{3} \cdot - 3 \frac{u}{3} d u$

Этап 4.12

Изменим порядок $\frac{u}{3}$ и $2$ .

$4 \int 2 \cdot \frac{u}{3} \frac{u}{3} \frac{u}{3} + \frac{u}{3} (2 (- \frac{1}{3})) \frac{u}{3} + \frac{u}{3} \cdot - 3 \frac{u}{3} - \frac{1}{3} (2 \frac{u}{3}) \frac{u}{3} - \frac{1}{3} (2 (- \frac{1}{3})) \frac{u}{3} - \frac{1}{3} \cdot - 3 \frac{u}{3} d u$

Этап 4.13

Перенесем круглые скобки.

$4 \int 2 \cdot \frac{u}{3} \frac{u}{3} \frac{u}{3} + \frac{u}{3} (2 \cdot - 1) \frac{1}{3} \frac{u}{3} + \frac{u}{3} \cdot - 3 \frac{u}{3} - \frac{1}{3} (2 \frac{u}{3}) \frac{u}{3} - \frac{1}{3} (2 (- \frac{1}{3})) \frac{u}{3} - \frac{1}{3} \cdot - 3 \frac{u}{3} d u$

Этап 4.14

Перенесем $\frac{u}{3}$ .

$4 \int 2 \cdot \frac{u}{3} \frac{u}{3} \frac{u}{3} + 2 \cdot - 1 \frac{u}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} + \frac{u}{3} \cdot - 3 \frac{u}{3} - \frac{1}{3} (2 \frac{u}{3}) \frac{u}{3} - \frac{1}{3} (2 (- \frac{1}{3})) \frac{u}{3} - \frac{1}{3} \cdot - 3 \frac{u}{3} d u$

Этап 4.15

Изменим порядок $\frac{u}{3}$ и $- 3$ .

$4 \int 2 \cdot \frac{u}{3} \frac{u}{3} \frac{u}{3} + 2 \cdot - 1 \frac{u}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 3 \cdot \frac{u}{3} \frac{u}{3} - \frac{1}{3} (2 \frac{u}{3}) \frac{u}{3} - \frac{1}{3} (2 (- \frac{1}{3})) \frac{u}{3} - \frac{1}{3} \cdot - 3 \frac{u}{3} d u$

Этап 4.16

Перенесем $\frac{1}{3}$ .

$4 \int 2 \cdot \frac{u}{3} \frac{u}{3} \frac{u}{3} + 2 \cdot - 1 \frac{u}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 3 \cdot \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \frac{1}{3} \frac{u}{3} \frac{u}{3} - \frac{1}{3} (2 (- \frac{1}{3})) \frac{u}{3} - \frac{1}{3} \cdot - 3 \frac{u}{3} d u$

Этап 4.17

Перенесем круглые скобки.

$4 \int 2 \cdot \frac{u}{3} \frac{u}{3} \frac{u}{3} + 2 \cdot - 1 \frac{u}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 3 \cdot \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \frac{1}{3} \frac{u}{3} \frac{u}{3} - \frac{1}{3} (2 \cdot - 1) \frac{1}{3} \frac{u}{3} - \frac{1}{3} \cdot - 3 \frac{u}{3} d u$

Этап 4.18

Перенесем $\frac{1}{3}$ .

$4 \int 2 \cdot \frac{u}{3} \frac{u}{3} \frac{u}{3} + 2 \cdot - 1 \frac{u}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 3 \cdot \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \frac{1}{3} \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \cdot - 1 \frac{1}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - \frac{1}{3} \cdot - 3 \frac{u}{3} d u$

Этап 4.19

Перенесем $\frac{1}{3}$ .

$4 \int 2 \cdot \frac{u}{3} \frac{u}{3} \frac{u}{3} + 2 \cdot - 1 \frac{u}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 3 \cdot \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \frac{1}{3} \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \cdot - 1 \frac{1}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 3 \frac{1}{3} \frac{u}{3} d u$

Этап 4.20

Объединим $2$ и $\frac{u}{3}$ .

$4 \int \frac{2 u}{3} \cdot \frac{u}{3} \frac{u}{3} + 2 \cdot - 1 \frac{u}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 3 \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \frac{1}{3} \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \cdot - 1 \frac{1}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 3 \frac{1}{3} \frac{u}{3} d u$

Этап 4.21

Умножим $\frac{2 u}{3}$ на $\frac{u}{3}$ .

$4 \int \frac{2 u \cdot u}{3 \cdot 3} \cdot \frac{u}{3} + 2 \cdot - 1 \frac{u}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 3 \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \frac{1}{3} \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \cdot - 1 \frac{1}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 3 \frac{1}{3} \frac{u}{3} d u$

Этап 4.22

Возведем $u$ в степень $1$ .

$4 \int \frac{2 (u^{1} u)}{3 \cdot 3} \cdot \frac{u}{3} + 2 \cdot - 1 \frac{u}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 3 \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \frac{1}{3} \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \cdot - 1 \frac{1}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 3 \frac{1}{3} \frac{u}{3} d u$

Этап 4.23

Возведем $u$ в степень $1$ .

$4 \int \frac{2 (u^{1} u^{1})}{3 \cdot 3} \cdot \frac{u}{3} + 2 \cdot - 1 \frac{u}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 3 \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \frac{1}{3} \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \cdot - 1 \frac{1}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 3 \frac{1}{3} \frac{u}{3} d u$

Этап 4.24

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 \int \frac{2 u^{1 + 1}}{3 \cdot 3} \cdot \frac{u}{3} + 2 \cdot - 1 \frac{u}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 3 \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \frac{1}{3} \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \cdot - 1 \frac{1}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 3 \frac{1}{3} \frac{u}{3} d u$

Этап 4.25

Добавим $1$ и $1$ .

$4 \int \frac{2 u^{2}}{3 \cdot 3} \cdot \frac{u}{3} + 2 \cdot - 1 \frac{u}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 3 \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \frac{1}{3} \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \cdot - 1 \frac{1}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 3 \frac{1}{3} \frac{u}{3} d u$

Этап 4.26

Умножим $3$ на $3$ .

$4 \int \frac{2 u^{2}}{9} \cdot \frac{u}{3} + 2 \cdot - 1 \frac{u}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 3 \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \frac{1}{3} \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \cdot - 1 \frac{1}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 3 \frac{1}{3} \frac{u}{3} d u$

Этап 4.27

Умножим $\frac{2 u^{2}}{9}$ на $\frac{u}{3}$ .

$4 \int \frac{2 u^{2} u}{9 \cdot 3} + 2 \cdot - 1 \frac{u}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 3 \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \frac{1}{3} \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \cdot - 1 \frac{1}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 3 \frac{1}{3} \frac{u}{3} d u$

Этап 4.28

Возведем $u$ в степень $1$ .

$4 \int \frac{2 (u^{2} u^{1})}{9 \cdot 3} + 2 \cdot - 1 \frac{u}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 3 \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \frac{1}{3} \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \cdot - 1 \frac{1}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 3 \frac{1}{3} \frac{u}{3} d u$

Этап 4.29

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 \int \frac{2 u^{2 + 1}}{9 \cdot 3} + 2 \cdot - 1 \frac{u}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 3 \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \frac{1}{3} \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \cdot - 1 \frac{1}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 3 \frac{1}{3} \frac{u}{3} d u$

Этап 4.30

Добавим $2$ и $1$ .

$4 \int \frac{2 u^{3}}{9 \cdot 3} + 2 \cdot - 1 \frac{u}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 3 \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \frac{1}{3} \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \cdot - 1 \frac{1}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 3 \frac{1}{3} \frac{u}{3} d u$

Этап 4.31

Умножим $9$ на $3$ .

$4 \int \frac{2 u^{3}}{27} + 2 \cdot - 1 \frac{u}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 3 \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \frac{1}{3} \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \cdot - 1 \frac{1}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 3 \frac{1}{3} \frac{u}{3} d u$

Этап 4.32

Умножим $2$ на $- 1$ .

$4 \int \frac{2 u^{3}}{27} - 2 \frac{u}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 3 \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \frac{1}{3} \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \cdot - 1 \frac{1}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 3 \frac{1}{3} \frac{u}{3} d u$

Этап 4.33

Объединим $- 2$ и $\frac{u}{3}$ .

$4 \int \frac{2 u^{3}}{27} + \frac{- 2 u}{3} \cdot \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 3 \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \frac{1}{3} \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \cdot - 1 \frac{1}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 3 \frac{1}{3} \frac{u}{3} d u$

Этап 4.34

Умножим $\frac{- 2 u}{3}$ на $\frac{1}{3}$ .

$4 \int \frac{2 u^{3}}{27} + \frac{- 2 u}{3 \cdot 3} \cdot \frac{u}{3} - 3 \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \frac{1}{3} \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \cdot - 1 \frac{1}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 3 \frac{1}{3} \frac{u}{3} d u$

Этап 4.35

Умножим $3$ на $3$ .

$4 \int \frac{2 u^{3}}{27} + \frac{- 2 u}{9} \cdot \frac{u}{3} - 3 \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \frac{1}{3} \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \cdot - 1 \frac{1}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 3 \frac{1}{3} \frac{u}{3} d u$

Этап 4.36

Умножим $\frac{- 2 u}{9}$ на $\frac{u}{3}$ .

$4 \int \frac{2 u^{3}}{27} + \frac{- 2 u \cdot u}{9 \cdot 3} - 3 \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \frac{1}{3} \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \cdot - 1 \frac{1}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 3 \frac{1}{3} \frac{u}{3} d u$

Этап 4.37

Возведем $u$ в степень $1$ .

$4 \int \frac{2 u^{3}}{27} + \frac{- 2 (u^{1} u)}{9 \cdot 3} - 3 \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \frac{1}{3} \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \cdot - 1 \frac{1}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 3 \frac{1}{3} \frac{u}{3} d u$

Этап 4.38

Возведем $u$ в степень $1$ .

$4 \int \frac{2 u^{3}}{27} + \frac{- 2 (u^{1} u^{1})}{9 \cdot 3} - 3 \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \frac{1}{3} \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \cdot - 1 \frac{1}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 3 \frac{1}{3} \frac{u}{3} d u$

Этап 4.39

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 \int \frac{2 u^{3}}{27} + \frac{- 2 u^{1 + 1}}{9 \cdot 3} - 3 \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \frac{1}{3} \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \cdot - 1 \frac{1}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 3 \frac{1}{3} \frac{u}{3} d u$

Этап 4.40

Добавим $1$ и $1$ .

$4 \int \frac{2 u^{3}}{27} + \frac{- 2 u^{2}}{9 \cdot 3} - 3 \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \frac{1}{3} \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \cdot - 1 \frac{1}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 3 \frac{1}{3} \frac{u}{3} d u$

Этап 4.41

Умножим $9$ на $3$ .

$4 \int \frac{2 u^{3}}{27} + \frac{- 2 u^{2}}{27} - 3 \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \frac{1}{3} \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \cdot - 1 \frac{1}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 3 \frac{1}{3} \frac{u}{3} d u$

Этап 4.42

Объединим $- 3$ и $\frac{u}{3}$ .

$4 \int \frac{2 u^{3}}{27} + \frac{- 2 u^{2}}{27} + \frac{- 3 u}{3} \cdot \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \frac{1}{3} \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \cdot - 1 \frac{1}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 3 \frac{1}{3} \frac{u}{3} d u$

Этап 4.43

Умножим $\frac{- 3 u}{3}$ на $\frac{u}{3}$ .

$4 \int \frac{2 u^{3}}{27} + \frac{- 2 u^{2}}{27} + \frac{- 3 u \cdot u}{3 \cdot 3} - 1 \cdot 2 \frac{1}{3} \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \cdot - 1 \frac{1}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 3 \frac{1}{3} \frac{u}{3} d u$

Этап 4.44

Возведем $u$ в степень $1$ .

$4 \int \frac{2 u^{3}}{27} + \frac{- 2 u^{2}}{27} + \frac{- 3 (u^{1} u)}{3 \cdot 3} - 1 \cdot 2 \frac{1}{3} \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \cdot - 1 \frac{1}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 3 \frac{1}{3} \frac{u}{3} d u$

Этап 4.45

Возведем $u$ в степень $1$ .

$4 \int \frac{2 u^{3}}{27} + \frac{- 2 u^{2}}{27} + \frac{- 3 (u^{1} u^{1})}{3 \cdot 3} - 1 \cdot 2 \frac{1}{3} \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \cdot - 1 \frac{1}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 3 \frac{1}{3} \frac{u}{3} d u$

Этап 4.46

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 \int \frac{2 u^{3}}{27} + \frac{- 2 u^{2}}{27} + \frac{- 3 u^{1 + 1}}{3 \cdot 3} - 1 \cdot 2 \frac{1}{3} \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \cdot - 1 \frac{1}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 3 \frac{1}{3} \frac{u}{3} d u$

Этап 4.47

Добавим $1$ и $1$ .

$4 \int \frac{2 u^{3}}{27} + \frac{- 2 u^{2}}{27} + \frac{- 3 u^{2}}{3 \cdot 3} - 1 \cdot 2 \frac{1}{3} \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \cdot - 1 \frac{1}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 3 \frac{1}{3} \frac{u}{3} d u$

Этап 4.48

Умножим $3$ на $3$ .

$4 \int \frac{2 u^{3}}{27} + \frac{- 2 u^{2}}{27} + \frac{- 3 u^{2}}{9} - 1 \cdot 2 \frac{1}{3} \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \cdot - 1 \frac{1}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 3 \frac{1}{3} \frac{u}{3} d u$

Этап 4.49

Чтобы записать $\frac{- 3 u^{2}}{9}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$4 \int \frac{2 u^{3}}{27} + \frac{- 2 u^{2}}{27} + \frac{- 3 u^{2}}{9} \cdot \frac{3}{3} - 1 \cdot 2 \frac{1}{3} \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \cdot - 1 \frac{1}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 3 \frac{1}{3} \frac{u}{3} d u$

Этап 4.50

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $27$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.50.1

Умножим $\frac{- 3 u^{2}}{9}$ на $\frac{3}{3}$ .

$4 \int \frac{2 u^{3}}{27} + \frac{- 2 u^{2}}{27} + \frac{- 3 u^{2} \cdot 3}{9 \cdot 3} - 1 \cdot 2 \frac{1}{3} \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \cdot - 1 \frac{1}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 3 \frac{1}{3} \frac{u}{3} d u$

Этап 4.50.2

Умножим $9$ на $3$ .

$4 \int \frac{2 u^{3}}{27} + \frac{- 2 u^{2}}{27} + \frac{- 3 u^{2} \cdot 3}{27} - 1 \cdot 2 \frac{1}{3} \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \cdot - 1 \frac{1}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 3 \frac{1}{3} \frac{u}{3} d u$

$4 \int \frac{2 u^{3}}{27} + \frac{- 2 u^{2}}{27} + \frac{- 3 u^{2} \cdot 3}{27} - 1 \cdot 2 \frac{1}{3} \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \cdot - 1 \frac{1}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 3 \frac{1}{3} \frac{u}{3} d u$

Этап 4.51

Объединим числители над общим знаменателем.

$4 \int \frac{2 u^{3}}{27} + \frac{- 2 u^{2} - 3 u^{2} \cdot 3}{27} - 1 \cdot 2 \frac{1}{3} \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \cdot - 1 \frac{1}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 3 \frac{1}{3} \frac{u}{3} d u$

Этап 4.52

Объединим числители над общим знаменателем.

$4 \int \frac{2 u^{3} - 2 u^{2} - 3 u^{2} \cdot 3}{27} - 1 \cdot 2 \frac{1}{3} \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \cdot - 1 \frac{1}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 3 \frac{1}{3} \frac{u}{3} d u$

Этап 4.53

Умножим $- 1$ на $2$ .

$4 \int \frac{2 u^{3} - 2 u^{2} - 3 u^{2} \cdot 3}{27} - 2 (\frac{1}{3}) \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \cdot - 1 \frac{1}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 3 \frac{1}{3} \frac{u}{3} d u$

Этап 4.54

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{3}$ .

$4 \int \frac{2 u^{3} - 2 u^{2} - 3 u^{2} \cdot 3}{27} + \frac{- 2}{3} \cdot \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \cdot - 1 \frac{1}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 3 \frac{1}{3} \frac{u}{3} d u$

Этап 4.55

Умножим $\frac{- 2}{3}$ на $\frac{u}{3}$ .

$4 \int \frac{2 u^{3} - 2 u^{2} - 3 u^{2} \cdot 3}{27} + \frac{- 2 u}{3 \cdot 3} \cdot \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \cdot - 1 \frac{1}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 3 \frac{1}{3} \frac{u}{3} d u$

Этап 4.56

Умножим $3$ на $3$ .

$4 \int \frac{2 u^{3} - 2 u^{2} - 3 u^{2} \cdot 3}{27} + \frac{- 2 u}{9} \cdot \frac{u}{3} - 1 \cdot 2 \cdot - 1 \frac{1}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 3 \frac{1}{3} \frac{u}{3} d u$

Этап 4.57

Умножим $\frac{- 2 u}{9}$ на $\frac{u}{3}$ .

$4 \int \frac{2 u^{3} - 2 u^{2} - 3 u^{2} \cdot 3}{27} + \frac{- 2 u \cdot u}{9 \cdot 3} - 1 \cdot 2 \cdot - 1 \frac{1}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 3 \frac{1}{3} \frac{u}{3} d u$

Этап 4.58

Возведем $u$ в степень $1$ .

$4 \int \frac{2 u^{3} - 2 u^{2} - 3 u^{2} \cdot 3}{27} + \frac{- 2 (u^{1} u)}{9 \cdot 3} - 1 \cdot 2 \cdot - 1 \frac{1}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 3 \frac{1}{3} \frac{u}{3} d u$

Этап 4.59

Возведем $u$ в степень $1$ .

$4 \int \frac{2 u^{3} - 2 u^{2} - 3 u^{2} \cdot 3}{27} + \frac{- 2 (u^{1} u^{1})}{9 \cdot 3} - 1 \cdot 2 \cdot - 1 \frac{1}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 3 \frac{1}{3} \frac{u}{3} d u$

Этап 4.60

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 \int \frac{2 u^{3} - 2 u^{2} - 3 u^{2} \cdot 3}{27} + \frac{- 2 u^{1 + 1}}{9 \cdot 3} - 1 \cdot 2 \cdot - 1 \frac{1}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 3 \frac{1}{3} \frac{u}{3} d u$

Этап 4.61

Добавим $1$ и $1$ .

$4 \int \frac{2 u^{3} - 2 u^{2} - 3 u^{2} \cdot 3}{27} + \frac{- 2 u^{2}}{9 \cdot 3} - 1 \cdot 2 \cdot - 1 \frac{1}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 3 \frac{1}{3} \frac{u}{3} d u$

Этап 4.62

Умножим $9$ на $3$ .

$4 \int \frac{2 u^{3} - 2 u^{2} - 3 u^{2} \cdot 3}{27} + \frac{- 2 u^{2}}{27} - 1 \cdot 2 \cdot - 1 \frac{1}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 3 \frac{1}{3} \frac{u}{3} d u$

Этап 4.63

Умножим $- 1$ на $2$ .

$4 \int \frac{2 u^{3} - 2 u^{2} - 3 u^{2} \cdot 3}{27} + \frac{- 2 u^{2}}{27} - 2 \cdot - 1 \frac{1}{3} \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 3 \frac{1}{3} \frac{u}{3} d u$

Этап 4.64

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$4 \int \frac{2 u^{3} - 2 u^{2} - 3 u^{2} \cdot 3}{27} + \frac{- 2 u^{2}}{27} + 2 (\frac{1}{3}) \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 3 \frac{1}{3} \frac{u}{3} d u$

Этап 4.65

Объединим $2$ и $\frac{1}{3}$ .

$4 \int \frac{2 u^{3} - 2 u^{2} - 3 u^{2} \cdot 3}{27} + \frac{- 2 u^{2}}{27} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 3 \frac{1}{3} \frac{u}{3} d u$

Этап 4.66

Умножим $\frac{2}{3}$ на $\frac{1}{3}$ .

$4 \int \frac{2 u^{3} - 2 u^{2} - 3 u^{2} \cdot 3}{27} + \frac{- 2 u^{2}}{27} + \frac{2}{3 \cdot 3} \cdot \frac{u}{3} - 1 \cdot - 3 \frac{1}{3} \frac{u}{3} d u$

Этап 4.67

Умножим $3$ на $3$ .

$4 \int \frac{2 u^{3} - 2 u^{2} - 3 u^{2} \cdot 3}{27} + \frac{- 2 u^{2}}{27} + \frac{2}{9} \cdot \frac{u}{3} - 1 \cdot - 3 \frac{1}{3} \frac{u}{3} d u$

Этап 4.68

Умножим $\frac{2}{9}$ на $\frac{u}{3}$ .

$4 \int \frac{2 u^{3} - 2 u^{2} - 3 u^{2} \cdot 3}{27} + \frac{- 2 u^{2}}{27} + \frac{2 u}{9 \cdot 3} - 1 \cdot - 3 \frac{1}{3} \frac{u}{3} d u$

Этап 4.69

Умножим $9$ на $3$ .

$4 \int \frac{2 u^{3} - 2 u^{2} - 3 u^{2} \cdot 3}{27} + \frac{- 2 u^{2}}{27} + \frac{2 u}{27} - 1 \cdot - 3 \frac{1}{3} \frac{u}{3} d u$

Этап 4.70

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$4 \int \frac{2 u^{3} - 2 u^{2} - 3 u^{2} \cdot 3}{27} + \frac{- 2 u^{2}}{27} + \frac{2 u}{27} + 3 (\frac{1}{3}) \frac{u}{3} d u$

Этап 4.71

Объединим $3$ и $\frac{1}{3}$ .

$4 \int \frac{2 u^{3} - 2 u^{2} - 3 u^{2} \cdot 3}{27} + \frac{- 2 u^{2}}{27} + \frac{2 u}{27} + \frac{3}{3} \cdot \frac{u}{3} d u$

Этап 4.72

Умножим $\frac{3}{3}$ на $\frac{u}{3}$ .

$4 \int \frac{2 u^{3} - 2 u^{2} - 3 u^{2} \cdot 3}{27} + \frac{- 2 u^{2}}{27} + \frac{2 u}{27} + \frac{3 u}{3 \cdot 3} d u$

Этап 4.73

Умножим $3$ на $3$ .

$4 \int \frac{2 u^{3} - 2 u^{2} - 3 u^{2} \cdot 3}{27} + \frac{- 2 u^{2}}{27} + \frac{2 u}{27} + \frac{3 u}{9} d u$

Этап 4.74

Чтобы записать $\frac{3 u}{9}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$4 \int \frac{2 u^{3} - 2 u^{2} - 3 u^{2} \cdot 3}{27} + \frac{- 2 u^{2}}{27} + \frac{2 u}{27} + \frac{3 u}{9} \cdot \frac{3}{3} d u$

Этап 4.75

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $27$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.75.1

Умножим $\frac{3 u}{9}$ на $\frac{3}{3}$ .

$4 \int \frac{2 u^{3} - 2 u^{2} - 3 u^{2} \cdot 3}{27} + \frac{- 2 u^{2}}{27} + \frac{2 u}{27} + \frac{3 u \cdot 3}{9 \cdot 3} d u$

Этап 4.75.2

Умножим $9$ на $3$ .

$4 \int \frac{2 u^{3} - 2 u^{2} - 3 u^{2} \cdot 3}{27} + \frac{- 2 u^{2}}{27} + \frac{2 u}{27} + \frac{3 u \cdot 3}{27} d u$

$4 \int \frac{2 u^{3} - 2 u^{2} - 3 u^{2} \cdot 3}{27} + \frac{- 2 u^{2}}{27} + \frac{2 u}{27} + \frac{3 u \cdot 3}{27} d u$

Этап 4.76

Объединим числители над общим знаменателем.

$4 \int \frac{2 u^{3} - 2 u^{2} - 3 u^{2} \cdot 3}{27} + \frac{- 2 u^{2}}{27} + \frac{2 u + 3 u \cdot 3}{27} d u$

Этап 4.77

Объединим числители над общим знаменателем.

$4 \int \frac{2 u^{3} - 2 u^{2} - 3 u^{2} \cdot 3}{27} + \frac{- 2 u^{2} + 2 u + 3 u \cdot 3}{27} d u$

Этап 4.78

Объединим числители над общим знаменателем.

$4 \int \frac{2 u^{3} - 2 u^{2} - 3 u^{2} \cdot 3 - 2 u^{2} + 2 u + 3 u \cdot 3}{27} d u$

Этап 4.79

Изменим порядок $2 u$ и $3 u \cdot 3$ .

$4 \int \frac{2 u^{3} - 2 u^{2} - 3 u^{2} \cdot 3 - 2 u^{2} + 3 u \cdot 3 + 2 u}{27} d u$

Этап 4.80

Перенесем $- 3 u^{2} \cdot 3$ .

$4 \int \frac{2 u^{3} - 2 u^{2} - 2 u^{2} - 3 u^{2} \cdot 3 + 3 u \cdot 3 + 2 u}{27} d u$

Этап 4.81

Вычтем $2 u^{2}$ из $- 2 u^{2}$ .

$4 \int \frac{2 u^{3} - 4 u^{2} - 3 u^{2} \cdot 3 + 3 u \cdot 3 + 2 u}{27} d u$

$4 \int \frac{2 u^{3} - 4 u^{2} - 3 u^{2} \cdot 3 + 3 u \cdot 3 + 2 u}{27} d u$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $3$ на $- 3$ .

$4 \int \frac{2 u^{3} - 4 u^{2} - 9 u^{2} + 3 u \cdot 3 + 2 u}{27} d u$

Этап 5.2

Вычтем $9 u^{2}$ из $- 4 u^{2}$ .

$4 \int \frac{2 u^{3} - 13 u^{2} + 3 u \cdot 3 + 2 u}{27} d u$

Этап 5.3

Умножим $3$ на $3$ .

$4 \int \frac{2 u^{3} - 13 u^{2} + 9 u + 2 u}{27} d u$

Этап 5.4

Добавим $9 u$ и $2 u$ .

$4 \int \frac{2 u^{3} - 13 u^{2} + 11 u}{27} d u$

$4 \int \frac{2 u^{3} - 13 u^{2} + 11 u}{27} d u$

Этап 6

Поскольку $\frac{1}{27}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{27}$ из-под знака интеграла.

$4 (\frac{1}{27} \int 2 u^{3} - 13 u^{2} + 11 u d u)$

Этап 7

Объединим $\frac{1}{27}$ и $4$ .

$\frac{4}{27} \int 2 u^{3} - 13 u^{2} + 11 u d u$

Этап 8

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{4}{27} (\int 2 u^{3} d u + \int - 13 u^{2} d u + \int 11 u d u)$

Этап 9

Поскольку $2$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$\frac{4}{27} (2 \int u^{3} d u + \int - 13 u^{2} d u + \int 11 u d u)$

Этап 10

По правилу степени интеграл $u^{3}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{4}{27} (2 (\frac{1}{4} u^{4} + C) + \int - 13 u^{2} d u + \int 11 u d u)$

Этап 11

Поскольку $- 13$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 13$ из-под знака интеграла.

$\frac{4}{27} (2 (\frac{1}{4} u^{4} + C) - 13 \int u^{2} d u + \int 11 u d u)$

Этап 12

По правилу степени интеграл $u^{2}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{4}{27} (2 (\frac{1}{4} u^{4} + C) - 13 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int 11 u d u)$

Этап 13

Поскольку $11$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $11$ из-под знака интеграла.

$\frac{4}{27} (2 (\frac{1}{4} u^{4} + C) - 13 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + 11 \int u d u)$

Этап 14

По правилу степени интеграл $u$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{4}{27} (2 (\frac{1}{4} u^{4} + C) - 13 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + 11 (\frac{1}{2} u^{2} + C))$

Этап 15

Упростим.

$\frac{4}{27} (\frac{u^{4}}{2} - \frac{13 u^{3}}{3} + \frac{11 u^{2}}{2}) + C$

Этап 16

Заменим все вхождения $u$ на $3 x + 1$ .

$\frac{4}{27} (\frac{{(3 x + 1)}^{4}}{2} - \frac{13 {(3 x + 1)}^{3}}{3} + \frac{11 {(3 x + 1)}^{2}}{2}) + C$

Этап 17

Изменим порядок членов.

$\frac{4}{27} (\frac{1}{2} {(3 x + 1)}^{4} - \frac{13}{3} {(3 x + 1)}^{3} + \frac{11}{2} {(3 x + 1)}^{2}) + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$