Математический анализ Примеры

$y = (x - 1) (x + 2)$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ((x - 1) (x + 2))$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x - 1$ и $g (x) = x + 2$ .

$(x - 1) \frac{d}{d x} [x + 2] + (x + 2) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Этап 3.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

По правилу суммы производная $x + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$(x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + (x + 2) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [2]) + (x + 2) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Этап 3.2.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$(x - 1) (1 + 0) + (x + 2) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Этап 3.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$(x - 1) \cdot 1 + (x + 2) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Этап 3.2.4.2

Умножим $x - 1$ на $1$ .

$x - 1 + (x + 2) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Этап 3.2.5

По правилу суммы производная $x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$x - 1 + (x + 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 3.2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x - 1 + (x + 2) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 3.2.7

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$x - 1 + (x + 2) (1 + 0)$

Этап 3.2.8

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.8.1

Добавим $1$ и $0$ .

$x - 1 + (x + 2) \cdot 1$

Этап 3.2.8.2

Умножим $x + 2$ на $1$ .

$x - 1 + x + 2$

Этап 3.2.8.3

Добавим $x$ и $x$ .

$2 x - 1 + 2$

Этап 3.2.8.4

Добавим $- 1$ и $2$ .

$2 x + 1$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = 2 x + 1$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 x + 1$