Математический анализ Примеры

$f (x) = 4 \sqrt[3]{x} - 6 \sqrt{x}$

Этап 1

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 2

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int 4 \sqrt[3]{x} - 6 \sqrt{x} d x$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 4 \sqrt[3]{x} d x + \int - 6 \sqrt{x} d x$

Этап 4

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$4 \int \sqrt[3]{x} d x + \int - 6 \sqrt{x} d x$

Этап 5

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{3}}$ .

$4 \int x^{\frac{1}{3}} d x + \int - 6 \sqrt{x} d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x^{\frac{1}{3}}$ по $x$ имеет вид $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ .

$4 (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) + \int - 6 \sqrt{x} d x$

Этап 7

Поскольку $- 6$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 6$ из-под знака интеграла.

$4 (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) - 6 \int \sqrt{x} d x$

Этап 8

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$4 (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) - 6 \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Этап 9

По правилу степени интеграл $x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$4 (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) - 6 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим.

$4 (\frac{3}{4}) x^{\frac{4}{3}} - 6 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 10.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Объединим $4$ и $\frac{3}{4}$ .

$\frac{4 \cdot 3}{4} x^{\frac{4}{3}} - 6 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 10.2.2

Умножим $4$ на $3$ .

$\frac{12}{4} x^{\frac{4}{3}} - 6 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 10.2.3

Сократим общий множитель $12$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$\frac{4 \cdot 3}{4} x^{\frac{4}{3}} - 6 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 10.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$\frac{4 \cdot 3}{4 (1)} x^{\frac{4}{3}} - 6 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 10.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 1} x^{\frac{4}{3}} - 6 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 10.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3}{1} x^{\frac{4}{3}} - 6 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 10.2.3.2.4

Разделим $3$ на $1$ .

$3 x^{\frac{4}{3}} - 6 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 10.2.4

Объединим $- 6$ и $\frac{2}{3}$ .

$3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{- 6 \cdot 2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 10.2.5

Умножим $- 6$ на $2$ .

$3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{- 12}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 10.2.6

Сократим общий множитель $- 12$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.6.1

Вынесем множитель $3$ из $- 12$ .

$3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{3 \cdot - 4}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 10.2.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.6.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{3 \cdot - 4}{3 (1)} x^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 10.2.6.2.2

Сократим общий множитель.

$3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{3 \cdot - 4}{3 \cdot 1} x^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 10.2.6.2.3

Перепишем это выражение.

$3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{- 4}{1} x^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 10.2.6.2.4

Разделим $- 4$ на $1$ .

$3 x^{\frac{4}{3}} - 4 x^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 11

Ответ ― первообразная функции $f (x) = 4 \sqrt[3]{x} - 6 \sqrt{x}$ .

$F (x) =$ $3 x^{\frac{4}{3}} - 4 x^{\frac{3}{2}} + C$