Математический анализ Примеры

$f (x) = 5 e^{2 x + 3} + 4 x^{2}$

Этап 1

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 2

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int 5 e^{2 x + 3} + 4 x^{2} d x$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 5 e^{2 x + 3} d x + \int 4 x^{2} d x$

Этап 4

Поскольку $5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$5 \int e^{2 x + 3} d x + \int 4 x^{2} d x$

Этап 5

Пусть $u = 2 x + 3$ . Тогда $d u = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть $u = 2 x + 3$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Дифференцируем $2 x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Этап 5.1.2

По правилу суммы производная $2 x + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 5.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 5.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 5.1.3.3

Умножим $2$ на $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 5.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 + 0$

Этап 5.1.4.2

Добавим $2$ и $0$ .

$2$

Этап 5.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$5 \int e^{u} \frac{1}{2} d u + \int 4 x^{2} d x$

Этап 6

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{2}$ .

$5 \int \frac{e^{u}}{2} d u + \int 4 x^{2} d x$

Этап 7

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$5 (\frac{1}{2} \int e^{u} d u) + \int 4 x^{2} d x$

Этап 8

Объединим $\frac{1}{2}$ и $5$ .

$\frac{5}{2} \int e^{u} d u + \int 4 x^{2} d x$

Этап 9

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$\frac{5}{2} (e^{u} + C) + \int 4 x^{2} d x$

Этап 10

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$\frac{5}{2} (e^{u} + C) + 4 \int x^{2} d x$

Этап 11

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{5}{2} (e^{u} + C) + 4 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Этап 12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Упростим.

$\frac{5}{2} e^{u} + 4 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

Этап 12.2

Объединим $4$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{5}{2} e^{u} + \frac{4}{3} x^{3} + C$

Этап 13

Заменим все вхождения $u$ на $2 x + 3$ .

$\frac{5}{2} e^{2 x + 3} + \frac{4}{3} x^{3} + C$

Этап 14

Ответ ― первообразная функции $f (x) = 5 e^{2 x + 3} + 4 x^{2}$ .

$F (x) =$ $\frac{5}{2} e^{2 x + 3} + \frac{4}{3} x^{3} + C$