Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{3} (\frac{1}{4} x^{2}) (2 x^{2}) (3 - x) d x$

Этап 1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Перенесем $x^{2}$ .

$\int_{0}^{3} \frac{1}{4} (x^{2} x^{2}) \cdot 2 (3 - x) d x$

Этап 1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int_{0}^{3} \frac{1}{4} x^{2 + 2} \cdot 2 (3 - x) d x$

Этап 1.1.3

Добавим $2$ и $2$ .

$\int_{0}^{3} \frac{1}{4} x^{4} \cdot 2 (3 - x) d x$

Этап 1.2

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x^{4}$ .

$\int_{0}^{3} \frac{x^{4}}{4} \cdot 2 (3 - x) d x$

Этап 1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\int_{0}^{3} \frac{x^{4}}{2 (2)} \cdot 2 (3 - x) d x$

Этап 1.3.2

Сократим общий множитель.

$\int_{0}^{3} \frac{x^{4}}{2 \cdot 2} \cdot 2 (3 - x) d x$

Этап 1.3.3

Перепишем это выражение.

$\int_{0}^{3} \frac{x^{4}}{2} (3 - x) d x$

Этап 1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\int_{0}^{3} \frac{x^{4}}{2} \cdot 3 + \frac{x^{4}}{2} (- x) d x$

Этап 1.5

Объединим $\frac{x^{4}}{2}$ и $3$ .

$\int_{0}^{3} \frac{x^{4} \cdot 3}{2} + \frac{x^{4}}{2} (- x) d x$

Этап 1.6

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\int_{0}^{3} \frac{x^{4} \cdot 3}{2} - \frac{x^{4}}{2} x d x$

Этап 1.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Перенесем $3$ влево от $x^{4}$ .

$\int_{0}^{3} \frac{3 \cdot x^{4}}{2} - \frac{x^{4}}{2} x d x$

Этап 1.7.2

Умножим $- \frac{x^{4}}{2} x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.2.1

Объединим $x$ и $\frac{x^{4}}{2}$ .

$\int_{0}^{3} \frac{3 x^{4}}{2} - \frac{x \cdot x^{4}}{2} d x$

Этап 1.7.2.2

Умножим $x$ на $x^{4}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.2.2.1

Умножим $x$ на $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.2.2.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int_{0}^{3} \frac{3 x^{4}}{2} - \frac{x^{1} x^{4}}{2} d x$

Этап 1.7.2.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int_{0}^{3} \frac{3 x^{4}}{2} - \frac{x^{1 + 4}}{2} d x$

Этап 1.7.2.2.2

Добавим $1$ и $4$ .

$\int_{0}^{3} \frac{3 x^{4}}{2} - \frac{x^{5}}{2} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{3} \frac{3 x^{4}}{2} d x + \int_{0}^{3} - \frac{x^{5}}{2} d x$

Этап 3

Поскольку $\frac{3}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{3}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{3}{2} \int_{0}^{3} x^{4} d x + \int_{0}^{3} - \frac{x^{5}}{2} d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x^{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$\frac{3}{2} \frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{3} + \int_{0}^{3} - \frac{x^{5}}{2} d x$

Этап 5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{3}{2} \frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{3} - \int_{0}^{3} \frac{x^{5}}{2} d x$

Этап 6

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{3}{2} \frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{3} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{3} x^{5} d x)$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{5}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$\frac{3}{2} \frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{3} - \frac{1}{2} \frac{1}{6} x^{6}]_{0}^{3}$

Этап 8

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем значение $\frac{1}{5} x^{5}$ в $3$ и в $0$ .

$\frac{3}{2} ((\frac{1}{5} \cdot 3^{5}) - \frac{1}{5} \cdot 0^{5}) - \frac{1}{2} \frac{1}{6} x^{6}]_{0}^{3}$

Этап 8.2

Найдем значение $\frac{1}{6} x^{6}$ в $3$ и в $0$ .

$\frac{3}{2} (\frac{1}{5} \cdot 3^{5} - \frac{1}{5} \cdot 0^{5}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{6} \cdot 3^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6})$

Этап 8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Возведем $3$ в степень $5$ .

$\frac{3}{2} (\frac{1}{5} \cdot 243 - \frac{1}{5} \cdot 0^{5}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{6} \cdot 3^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6})$

Этап 8.3.2

Объединим $\frac{1}{5}$ и $243$ .

$\frac{3}{2} (\frac{243}{5} - \frac{1}{5} \cdot 0^{5}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{6} \cdot 3^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6})$

Этап 8.3.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{3}{2} (\frac{243}{5} - \frac{1}{5} \cdot 0) - \frac{1}{2} (\frac{1}{6} \cdot 3^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6})$

Этап 8.3.4

Умножим $0$ на $- 1$ .

$\frac{3}{2} (\frac{243}{5} + 0 (\frac{1}{5})) - \frac{1}{2} (\frac{1}{6} \cdot 3^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6})$

Этап 8.3.5

Умножим $0$ на $\frac{1}{5}$ .

$\frac{3}{2} (\frac{243}{5} + 0) - \frac{1}{2} (\frac{1}{6} \cdot 3^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6})$

Этап 8.3.6

Добавим $\frac{243}{5}$ и $0$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{243}{5} - \frac{1}{2} (\frac{1}{6} \cdot 3^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6})$

Этап 8.3.7

Умножим $\frac{3}{2}$ на $\frac{243}{5}$ .

$\frac{3 \cdot 243}{2 \cdot 5} - \frac{1}{2} (\frac{1}{6} \cdot 3^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6})$

Этап 8.3.8

Умножим $3$ на $243$ .

$\frac{729}{2 \cdot 5} - \frac{1}{2} (\frac{1}{6} \cdot 3^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6})$

Этап 8.3.9

Умножим $2$ на $5$ .

$\frac{729}{10} - \frac{1}{2} (\frac{1}{6} \cdot 3^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6})$

Этап 8.3.10

Возведем $3$ в степень $6$ .

$\frac{729}{10} - \frac{1}{2} (\frac{1}{6} \cdot 729 - \frac{1}{6} \cdot 0^{6})$

Этап 8.3.11

Объединим $\frac{1}{6}$ и $729$ .

$\frac{729}{10} - \frac{1}{2} (\frac{729}{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6})$

Этап 8.3.12

Сократим общий множитель $729$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.12.1

Вынесем множитель $3$ из $729$ .

$\frac{729}{10} - \frac{1}{2} (\frac{3 (243)}{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6})$

Этап 8.3.12.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.12.2.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$\frac{729}{10} - \frac{1}{2} (\frac{3 \cdot 243}{3 \cdot 2} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6})$

Этап 8.3.12.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{729}{10} - \frac{1}{2} (\frac{3 \cdot 243}{3 \cdot 2} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6})$

Этап 8.3.12.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{729}{10} - \frac{1}{2} (\frac{243}{2} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6})$

Этап 8.3.13

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{729}{10} - \frac{1}{2} (\frac{243}{2} - \frac{1}{6} \cdot 0)$

Этап 8.3.14

Умножим $0$ на $- 1$ .

$\frac{729}{10} - \frac{1}{2} (\frac{243}{2} + 0 (\frac{1}{6}))$

Этап 8.3.15

Умножим $0$ на $\frac{1}{6}$ .

$\frac{729}{10} - \frac{1}{2} (\frac{243}{2} + 0)$

Этап 8.3.16

Добавим $\frac{243}{2}$ и $0$ .

$\frac{729}{10} - \frac{1}{2} \cdot \frac{243}{2}$

Этап 8.3.17

Умножим $\frac{243}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{729}{10} - \frac{243}{2 \cdot 2}$

Этап 8.3.18

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{729}{10} - \frac{243}{4}$

Этап 8.3.19

Чтобы записать $\frac{729}{10}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{729}{10} \cdot \frac{2}{2} - \frac{243}{4}$

Этап 8.3.20

Чтобы записать $- \frac{243}{4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$\frac{729}{10} \cdot \frac{2}{2} - \frac{243}{4} \cdot \frac{5}{5}$

Этап 8.3.21

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $20$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.21.1

Умножим $\frac{729}{10}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{729 \cdot 2}{10 \cdot 2} - \frac{243}{4} \cdot \frac{5}{5}$

Этап 8.3.21.2

Умножим $10$ на $2$ .

$\frac{729 \cdot 2}{20} - \frac{243}{4} \cdot \frac{5}{5}$

Этап 8.3.21.3

Умножим $\frac{243}{4}$ на $\frac{5}{5}$ .

$\frac{729 \cdot 2}{20} - \frac{243 \cdot 5}{4 \cdot 5}$

Этап 8.3.21.4

Умножим $4$ на $5$ .

$\frac{729 \cdot 2}{20} - \frac{243 \cdot 5}{20}$

Этап 8.3.22

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{729 \cdot 2 - 243 \cdot 5}{20}$

Этап 8.3.23

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.23.1

Умножим $729$ на $2$ .

$\frac{1458 - 243 \cdot 5}{20}$

Этап 8.3.23.2

Умножим $- 243$ на $5$ .

$\frac{1458 - 1215}{20}$

Этап 8.3.23.3

Вычтем $1215$ из $1458$ .

$\frac{243}{20}$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{243}{20}$

Десятичная форма:

$12.15$

Форма смешанных чисел:

$12 \frac{3}{20}$

Этап 10