Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{2} \frac{x}{{(1 + 2 x^{2})}^{2}} d x$

Этап 1

Пусть $u = 1 + 2 x^{2}$ . Тогда $d u = 4 x d x$ , следовательно $\frac{1}{4} d u = x d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = 1 + 2 x^{2}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $1 + 2 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + 2 x^{2}]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

По правилу суммы производная $1 + 2 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Этап 1.1.2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{2}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 + 2 (2 x)$

Этап 1.1.3.3

Умножим $2$ на $2$ .

$0 + 4 x$

Этап 1.1.4

Добавим $0$ и $4 x$ .

$4 x$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = 1 + 2 x^{2}$ .

$u_{lower} = 1 + 2 \cdot 0^{2}$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$u_{lower} = 1 + 2 \cdot 0$

Этап 1.3.1.2

Умножим $2$ на $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Этап 1.3.2

Добавим $1$ и $0$ .

$u_{lower} = 1$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = 1 + 2 x^{2}$ .

$u_{upper} = 1 + 2 \cdot 2^{2}$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Умножим $2$ на $2^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1.1

Умножим $2$ на $2^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1.1.1

Возведем $2$ в степень $1$ .

$u_{upper} = 1 + 2^{1} \cdot 2^{2}$

Этап 1.5.1.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$u_{upper} = 1 + 2^{1 + 2}$

Этап 1.5.1.1.2

Добавим $1$ и $2$ .

$u_{upper} = 1 + 2^{3}$

Этап 1.5.1.2

Возведем $2$ в степень $3$ .

$u_{upper} = 1 + 8$

Этап 1.5.2

Добавим $1$ и $8$ .

$u_{upper} = 9$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 9$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{1}^{9} \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{4} d u$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим $\frac{1}{u^{2}}$ на $\frac{1}{4}$ .

$\int_{1}^{9} \frac{1}{u^{2} \cdot 4} d u$

Этап 2.2

Перенесем $4$ влево от $u^{2}$ .

$\int_{1}^{9} \frac{1}{4 u^{2}} d u$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} \frac{1}{u^{2}} d u$

Этап 4

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем $u^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} {(u^{2})}^{- 1} d u$

Этап 4.2

Перемножим экспоненты в ${(u^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} u^{2 \cdot - 1} d u$

Этап 4.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} u^{- 2} d u$

Этап 5

По правилу степени интеграл $u^{- 2}$ по $u$ имеет вид $- u^{- 1}$ .

$\frac{1}{4} - u^{- 1}]_{1}^{9}$

Этап 6

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем значение $- u^{- 1}$ в $9$ и в $1$ .

$\frac{1}{4} ((- 9^{- 1}) + 1^{- 1})$

Этап 6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{4} (- \frac{1}{9} + 1^{- 1})$

Этап 6.2.2

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{4} (- \frac{1}{9} + 1)$

Этап 6.2.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{1}{4} (- \frac{1}{9} + \frac{9}{9})$

Этап 6.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{- 1 + 9}{9}$

Этап 6.2.5

Добавим $- 1$ и $9$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{8}{9}$

Этап 6.2.6

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{8}{9}$ .

$\frac{8}{4 \cdot 9}$

Этап 6.2.7

Умножим $4$ на $9$ .

$\frac{8}{36}$

Этап 6.2.8

Сократим общий множитель $8$ и $36$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.8.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$\frac{4 (2)}{36}$

Этап 6.2.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.8.2.1

Вынесем множитель $4$ из $36$ .

$\frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 9}$

Этап 6.2.8.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 9}$

Этап 6.2.8.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{9}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{2}{9}$

Десятичная форма:

$0.\overline{2}$

Этап 8