Математический анализ Примеры

$x^{5} + 8 x^{3} - \sqrt{5}$

Этап 1

Запишем $x^{5} + 8 x^{3} - \sqrt{5}$ в виде функции.

$f (x) = x^{5} + 8 x^{3} - \sqrt{5}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int x^{5} + 8 x^{3} - \sqrt{5} d x$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int x^{5} d x + \int 8 x^{3} d x + \int - \sqrt{5} d x$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x^{5}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$\frac{1}{6} x^{6} + C + \int 8 x^{3} d x + \int - \sqrt{5} d x$

Этап 6

Поскольку $8$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $8$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{6} x^{6} + C + 8 \int x^{3} d x + \int - \sqrt{5} d x$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{6} x^{6} + C + 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int - \sqrt{5} d x$

Этап 8

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{6} x^{6} + C + 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - \sqrt{5} x + C$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x^{4}$ .

$\frac{1}{6} x^{6} + C + 8 (\frac{x^{4}}{4} + C) - \sqrt{5} x + C$

Этап 9.2

Упростим.

$\frac{x^{6}}{6} + 2 x^{4} - \sqrt{5} x + C$

Этап 9.3

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{6} x^{6} + 2 x^{4} - \sqrt{5} x + C$

Этап 10

Ответ ― первообразная функции $f (x) = x^{5} + 8 x^{3} - \sqrt{5}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{6} x^{6} + 2 x^{4} - \sqrt{5} x + C$