Математический анализ Примеры

$y = {(- x - 1)}^{2} + 3$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем ${(- x - 1)}^{2}$ в виде $(- x - 1) (- x - 1)$ .

$f (x) = (- x - 1) (- x - 1) + 3$

Этап 1.2

Развернем $(- x - 1) (- x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x) = - x (- x - 1) - 1 (- x - 1) + 3$

Этап 1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x) = - x (- x) - x \cdot - 1 - 1 (- x - 1) + 3$

Этап 1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x) = - x (- x) - x \cdot - 1 - 1 (- x) - 1 \cdot - 1 + 3$

Этап 1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f (x) = - 1 \cdot (- 1 x \cdot x) - x \cdot - 1 - 1 (- x) - 1 \cdot - 1 + 3$

Этап 1.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$f (x) = - 1 \cdot (- 1 (x \cdot x)) - x \cdot - 1 - 1 (- x) - 1 \cdot - 1 + 3$

Этап 1.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$f (x) = - 1 \cdot (- 1 x^{2}) - x \cdot - 1 - 1 (- x) - 1 \cdot - 1 + 3$

Этап 1.3.1.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (x) = 1 x^{2} - x \cdot - 1 - 1 (- x) - 1 \cdot - 1 + 3$

Этап 1.3.1.4

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$f (x) = x^{2} - x \cdot - 1 - 1 (- x) - 1 \cdot - 1 + 3$

Этап 1.3.1.5

Умножим $- x \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.5.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (x) = x^{2} + 1 x - 1 (- x) - 1 \cdot - 1 + 3$

Этап 1.3.1.5.2

Умножим $x$ на $1$ .

$f (x) = x^{2} + x - 1 (- x) - 1 \cdot - 1 + 3$

Этап 1.3.1.6

Умножим $- 1 (- x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.6.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (x) = x^{2} + x + 1 x - 1 \cdot - 1 + 3$

Этап 1.3.1.6.2

Умножим $x$ на $1$ .

$f (x) = x^{2} + x + x - 1 \cdot - 1 + 3$

Этап 1.3.1.7

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (x) = x^{2} + x + x + 1 + 3$

Этап 1.3.2

Добавим $x$ и $x$ .

$f (x) = x^{2} + 2 x + 1 + 3$

Этап 2

Добавим $1$ и $3$ .

$f (x) = x^{2} + 2 x + 4$

Этап 3

Квадратичная функция достигает минимума в $x = - \frac{b}{2 a}$ . Если $a$ принимает положительные значения, то минимальным значением функции будет $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{минимум}$ $x = a x^{2} + b x + c$ входит в $x = - \frac{b}{2 a}$

Этап 4

Найдем значение $x = - \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим в значения $a$ и $b$ .

$x = - \frac{2}{2 (1)}$

Этап 4.2

Избавимся от скобок.

$x = - \frac{2}{2 (1)}$

Этап 4.3

Упростим $- \frac{2}{2 (1)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Сократим общий множитель.

$x = - \frac{2}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.1.2

Перепишем это выражение.

$x = - 1 \cdot 1$

Этап 4.3.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$x = - 1$

Этап 5

Найдем значение $f (- 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f (- 1) = {(- 1)}^{2} + 2 (- 1) + 4$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- 1) = 1 + 2 (- 1) + 4$

Этап 5.2.1.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f (- 1) = 1 - 2 + 4$

Этап 5.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Вычтем $2$ из $1$ .

$f (- 1) = - 1 + 4$

Этап 5.2.2.2

Добавим $- 1$ и $4$ .

$f (- 1) = 3$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ: $3$ .

$3$

Этап 6

Используем значения $x$ и $y$ , чтобы найти, где достигается минимум.

$(- 1, 3)$

Этап 7