Математический анализ Примеры

$\int \frac{4 x + 2}{x^{2} + x + 5} d x$

Этап 1

Вынесем множитель $2$ из $4 x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $2$ из $4 x$ .

$\int \frac{2 (2 x) + 2}{x^{2} + x + 5} d x$

Этап 1.2

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\int \frac{2 (2 x) + 2 (1)}{x^{2} + x + 5} d x$

Этап 1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (2 x) + 2 (1)$ .

$\int \frac{2 (2 x + 1)}{x^{2} + x + 5} d x$

Этап 2

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int \frac{2 x + 1}{x^{2} + x + 5} d x$

Этап 3

Пусть $u = x^{2} + x + 5$ . Тогда $d u = (2 x + 1) d x$ , следовательно $\frac{1}{2 x + 1} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть $u = x^{2} + x + 5$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Дифференцируем $x^{2} + x + 5$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + x + 5]$

Этап 3.1.2

По правилу суммы производная $x^{2} + x + 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 3.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 3.1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 x + 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 3.1.5

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 x + 1 + 0$

Этап 3.1.6

Добавим $2 x + 1$ и $0$ .

$2 x + 1$

Этап 3.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$2 \int \frac{1}{u} d u$

Этап 4

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$2 (\ln (| u |) + C)$

Этап 5

Упростим.

$2 \ln (| u |) + C$

Этап 6

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + x + 5$ .

$2 \ln (| x^{2} + x + 5 |) + C$