Математический анализ Примеры

$\ln (x y) + 5 x = 30$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (\ln (x y) + 5 x) = \frac{d}{d x} (30)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $\ln (x y) + 5 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\ln (x y)] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x y)] + \frac{d}{d x} [5 x]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\ln (x y)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x y$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [5 x]$

Этап 2.2.1.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [5 x]$

Этап 2.2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x y$ .

$\frac{1}{x y} \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [5 x]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = y$ .

$\frac{1}{x y} (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5 x]$

Этап 2.2.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$\frac{1}{x y} (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5 x]$

Этап 2.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{x y} (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [5 x]$

Этап 2.2.5

Умножим $y$ на $1$ .

$\frac{1}{x y} (x y' + y) + \frac{d}{d x} [5 x]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{x y} (x y' + y) + 5 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{x y} (x y' + y) + 5 \cdot 1$

Этап 2.3.3

Умножим $5$ на $1$ .

$\frac{1}{x y} (x y' + y) + 5$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{x y} (x y') + \frac{1}{x y} y + 5$

Этап 2.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Объединим $x$ и $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{x}{x y} y' + \frac{1}{x y} y + 5$

Этап 2.4.2.2

Объединим $\frac{x}{x y}$ и $y'$ .

$\frac{x y'}{x y} + \frac{1}{x y} y + 5$

Этап 2.4.2.3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x y'}{x y} + \frac{1}{x y} y + 5$

Этап 2.4.2.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x y} y + 5$

Этап 2.4.2.4

Объединим $\frac{1}{x y}$ и $y$ .

$\frac{y'}{y} + \frac{y}{x y} + 5$

Этап 2.4.2.5

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y'}{y} + \frac{y}{x y} + 5$

Этап 2.4.2.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} + 5$

Этап 3

Поскольку $30$ является константой относительно $x$ , производная $30$ относительно $x$ равна $0$ .

$0$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} + 5 = 0$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перенесем все члены без $y'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вычтем $\frac{1}{x}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{y'}{y} + 5 = - \frac{1}{x}$

Этап 5.1.2

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$\frac{y'}{y} = - \frac{1}{x} - 5$

Этап 5.2

Умножим обе части на $y$ .

$\frac{y'}{y} y = (- \frac{1}{x} - 5) y$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y'}{y} y = (- \frac{1}{x} - 5) y$

Этап 5.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$y' = (- \frac{1}{x} - 5) y$

Этап 5.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Упростим $(- \frac{1}{x} - 5) y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y' = - \frac{1}{x} y - 5 y$

Этап 5.3.2.1.2

Объединим $y$ и $\frac{1}{x}$ .

$y' = - \frac{y}{x} - 5 y$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x} - 5 y$