Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 9} \frac{3 - \sqrt{x}}{27 - \sqrt{x^{3}}}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 9} 3 - \sqrt{x}}{lim_{x \to 9} 27 - \sqrt{x^{3}}}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $9$ .

$\frac{lim_{x \to 9} 3 - lim_{x \to 9} \sqrt{x}}{lim_{x \to 9} 27 - \sqrt{x^{3}}}$

Этап 1.1.2.1.2

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $9$ .

$\frac{3 - lim_{x \to 9} \sqrt{x}}{lim_{x \to 9} 27 - \sqrt{x^{3}}}$

Этап 1.1.2.1.3

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{3 - \sqrt{lim_{x \to 9} x}}{lim_{x \to 9} 27 - \sqrt{x^{3}}}$

Этап 1.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $9$ для $x$ .

$\frac{3 - \sqrt{9}}{lim_{x \to 9} 27 - \sqrt{x^{3}}}$

Этап 1.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{3 - \sqrt{3^{2}}}{lim_{x \to 9} 27 - \sqrt{x^{3}}}$

Этап 1.1.2.3.1.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{3 - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 9} 27 - \sqrt{x^{3}}}$

Этап 1.1.2.3.1.3

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{3 - 3}{lim_{x \to 9} 27 - \sqrt{x^{3}}}$

Этап 1.1.2.3.2

Вычтем $3$ из $3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 9} 27 - \sqrt{x^{3}}}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $9$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 9} 27 - lim_{x \to 9} \sqrt{x^{3}}}$

Этап 1.1.3.1.2

Найдем предел $27$ , который является константой по мере приближения $x$ к $9$ .

$\frac{0}{27 - lim_{x \to 9} \sqrt{x^{3}}}$

Этап 1.1.3.1.3

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{0}{27 - \sqrt{lim_{x \to 9} x^{3}}}$

Этап 1.1.3.1.4

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{27 - \sqrt{{(lim_{x \to 9} x)}^{3}}}$

Этап 1.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $9$ для $x$ .

$\frac{0}{27 - \sqrt{9^{3}}}$

Этап 1.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1.1

Возведем $9$ в степень $3$ .

$\frac{0}{27 - \sqrt{729}}$

Этап 1.1.3.3.1.2

Перепишем $729$ в виде $27^{2}$ .

$\frac{0}{27 - \sqrt{27^{2}}}$

Этап 1.1.3.3.1.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{0}{27 - 1 \cdot 27}$

Этап 1.1.3.3.1.4

Умножим $- 1$ на $27$ .

$\frac{0}{27 - 27}$

Этап 1.1.3.3.2

Вычтем $27$ из $27$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 9} \frac{3 - \sqrt{x}}{27 - \sqrt{x^{3}}} = lim_{x \to 9} \frac{\frac{d}{d x} [3 - \sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [27 - \sqrt{x^{3}}]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{d}{d x} [3 - \sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [27 - \sqrt{x^{3}}]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $3 - \sqrt{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [27 - \sqrt{x^{3}}]}$

Этап 1.3.3

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [27 - \sqrt{x^{3}}]}$

Этап 1.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [27 - \sqrt{x^{3}}]}$

Этап 1.3.4.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{0 - \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [27 - \sqrt{x^{3}}]}$

Этап 1.3.4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{\frac{d}{d x} [27 - \sqrt{x^{3}}]}$

Этап 1.3.4.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{\frac{d}{d x} [27 - \sqrt{x^{3}}]}$

Этап 1.3.4.5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{\frac{d}{d x} [27 - \sqrt{x^{3}}]}$

Этап 1.3.4.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 9} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{\frac{d}{d x} [27 - \sqrt{x^{3}}]}$

Этап 1.3.4.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$lim_{x \to 9} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}{\frac{d}{d x} [27 - \sqrt{x^{3}}]}$

Этап 1.3.4.7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}{\frac{d}{d x} [27 - \sqrt{x^{3}}]}$

Этап 1.3.4.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to 9} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}{\frac{d}{d x} [27 - \sqrt{x^{3}}]}$

Этап 1.3.4.9

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{0 - \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [27 - \sqrt{x^{3}}]}$

Этап 1.3.4.10

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{0 - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [27 - \sqrt{x^{3}}]}$

Этап 1.3.5

Вычтем $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ из $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [27 - \sqrt{x^{3}}]}$

Этап 1.3.6

По правилу суммы производная $27 - \sqrt{x^{3}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [27] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [27] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]}$

Этап 1.3.7

Поскольку $27$ является константой относительно $x$ , производная $27$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{0 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]}$

Этап 1.3.8

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.8.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x^{3}}$ в виде $x^{\frac{3}{2}}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{0 + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{2}}]}$

Этап 1.3.8.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{\frac{3}{2}}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{0 - \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]}$

Этап 1.3.8.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{3}{2}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{0 - (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})}$

Этап 1.3.8.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{0 - (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}$

Этап 1.3.8.5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{0 - (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}$

Этап 1.3.8.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{0 - (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})}$

Этап 1.3.8.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.8.7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{0 - (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})}$

Этап 1.3.8.7.2

Вычтем $2$ из $3$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{0 - (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})}$

Этап 1.3.8.8

Объединим $\frac{3}{2}$ и $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{0 - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}}$

Этап 1.3.9

Вычтем $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ из $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}}$

Этап 1.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to 9} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 1.5

Переведем дробные показатели степени в форму с радикалами.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Перепишем $x^{\frac{1}{2}}$ в виде $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to 9} - \frac{1}{2 \sqrt{x}} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 1.5.2

Перепишем $x^{\frac{1}{2}}$ в виде $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to 9} - \frac{1}{2 \sqrt{x}} (- \frac{2}{3 \sqrt{x}})$

Этап 1.6

Объединим множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$lim_{x \to 9} 1 \frac{1}{2 \sqrt{x}} \frac{2}{3 \sqrt{x}}$

Этап 1.6.2

Умножим $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ на $1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \frac{2}{3 \sqrt{x}}$

Этап 1.6.3

Умножим $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ на $\frac{2}{3 \sqrt{x}}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{2}{2 \sqrt{x} (3 \sqrt{x})}$

Этап 1.6.4

Умножим $3$ на $2$ .

$lim_{x \to 9} \frac{2}{6 \sqrt{x} \sqrt{x}}$

Этап 1.6.5

Возведем $\sqrt{x}$ в степень $1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{2}{6 ({\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x})}$

Этап 1.6.6

Возведем $\sqrt{x}$ в степень $1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{2}{6 ({\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1})}$

Этап 1.6.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$lim_{x \to 9} \frac{2}{6 {\sqrt{x}}^{1 + 1}}$

Этап 1.6.8

Добавим $1$ и $1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{2}{6 {\sqrt{x}}^{2}}$

Этап 1.7

Сократим общий множитель $2$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$lim_{x \to 9} \frac{2 (1)}{6 {\sqrt{x}}^{2}}$

Этап 1.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6 {\sqrt{x}}^{2}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{2 (1)}{2 (3 {\sqrt{x}}^{2})}$

Этап 1.7.2.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to 9} \frac{2 \cdot 1}{2 (3 {\sqrt{x}}^{2})}$

Этап 1.7.2.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to 9} \frac{1}{3 {\sqrt{x}}^{2}}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем член $\frac{1}{3}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 9} \frac{1}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Этап 2.2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $9$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 9} 1}{lim_{x \to 9} {\sqrt{x}}^{2}}$

Этап 2.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $9$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 9} {\sqrt{x}}^{2}}$

Этап 2.4

Вынесем степень $2$ в выражении ${\sqrt{x}}^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{{(lim_{x \to 9} \sqrt{x})}^{2}}$

Этап 2.5

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{{\sqrt{lim_{x \to 9} x}}^{2}}$

Этап 3

Найдем предел $x$ , подставив значение $9$ для $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{{\sqrt{9}}^{2}}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим.

$\frac{1 \cdot 1}{3 {\sqrt{9}}^{2}}$

Этап 4.2

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{1}{3 {\sqrt{9}}^{2}}$

Этап 4.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{1}{3 {\sqrt{3^{2}}}^{2}}$

Этап 4.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{1}{3 \cdot 3^{2}}$

Этап 4.3.3

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{1}{3 \cdot 9}$

Этап 4.4

Умножим $3$ на $9$ .

$\frac{1}{27}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{1}{27}$

Десятичная форма:

$0.\overline{037}$