Математический анализ Примеры

$g (x) = 5 \sqrt[3]{x^{2}} - \frac{1}{2 \sqrt{x}} + π$

Этап 1

Чтобы найти функцию $G (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $g (x)$ .

$G (x) = \int g (x) d x$

Этап 2

Составим интеграл, чтобы решить его.

$G (x) = \int 5 \sqrt[3]{x^{2}} - \frac{1}{2 \sqrt{x}} + π d x$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 5 \sqrt[3]{x^{2}} d x + \int - \frac{1}{2 \sqrt{x}} d x + \int π d x$

Этап 4

Поскольку $5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$5 \int \sqrt[3]{x^{2}} d x + \int - \frac{1}{2 \sqrt{x}} d x + \int π d x$

Этап 5

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x^{2}}$ в виде $x^{\frac{2}{3}}$ .

$5 \int x^{\frac{2}{3}} d x + \int - \frac{1}{2 \sqrt{x}} d x + \int π d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x^{\frac{2}{3}}$ по $x$ имеет вид $\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}$ .

$5 (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C) + \int - \frac{1}{2 \sqrt{x}} d x + \int π d x$

Этап 7

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$5 (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C) - \int \frac{1}{2 \sqrt{x}} d x + \int π d x$

Этап 8

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$5 (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C) - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x) + \int π d x$

Этап 9

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Объединим $\frac{3}{5}$ и $x^{\frac{5}{3}}$ .

$5 (\frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5} + C) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x + \int π d x$

Этап 9.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$5 (\frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5} + C) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x + \int π d x$

Этап 9.2.2

Вынесем $x^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$5 (\frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5} + C) - \frac{1}{2} \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x + \int π d x$

Этап 9.2.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 (\frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5} + C) - \frac{1}{2} \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x + \int π d x$

Этап 9.2.3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$5 (\frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5} + C) - \frac{1}{2} \int x^{\frac{- 1}{2}} d x + \int π d x$

Этап 9.2.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$5 (\frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5} + C) - \frac{1}{2} \int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int π d x$

Этап 10

По правилу степени интеграл $x^{- \frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$5 (\frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5} + C) - \frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \int π d x$

Этап 11

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$5 (\frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5} + C) - \frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + π x + C$

Этап 12

Упростим.

$3 x^{\frac{5}{3}} - x^{\frac{1}{2}} + π x + C$

Этап 13

Ответ ― первообразная функции $g (x) = 5 \sqrt[3]{x^{2}} - \frac{1}{2 \sqrt{x}} + π$ .

$G (x) =$ $3 x^{\frac{5}{3}} - x^{\frac{1}{2}} + π x + C$