Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (n x)}{\sin (x)}$

Этап 1

Применим тригонометрические тождества.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Выразим $\tan (n x)$ через синусы и косинусы.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin (n x)}{\cos (n x)}}{\sin (x)}$

Этап 1.2

Перепишем $\frac{\frac{\sin (n x)}{\cos (n x)}}{\sin (x)}$ в виде произведения.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (n x)}{\cos (n x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Переведем $\frac{\sin (n x)}{\cos (n x)}$ в $\tan (n x)$ .

$lim_{x \to 0} \tan (n x) \frac{1}{\sin (x)}$

Этап 1.3.2

Переведем $\frac{1}{\sin (x)}$ в $\csc (x)$ .

$lim_{x \to 0} \tan (n x) \csc (x)$

Этап 2

Рассмотрим предел как левосторонний.

$lim_{x \to 0^{-}} \tan (n x) \csc (x)$

Этап 3

Вычислим левосторонний предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем $\tan (n x) \csc (x)$ в виде $\frac{\tan (n x)}{\frac{1}{\csc (x)}}$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\tan (n x)}{\frac{1}{\csc (x)}}$

Этап 3.2

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0^{-}} \tan (n x)}{lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{\csc (x)}}$

Этап 3.2.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1.1

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку тангенс — непрерывная функция.

$\frac{\tan (lim_{x \to 0^{-}} n x)}{lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{\csc (x)}}$

Этап 3.2.1.2.1.2

Вынесем член $n$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\tan (n lim_{x \to 0^{-}} x)}{lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{\csc (x)}}$

Этап 3.2.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{\tan (n \cdot 0)}{lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{\csc (x)}}$

Этап 3.2.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.3.1

Умножим $n$ на $0$ .

$\frac{\tan (0)}{lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{\csc (x)}}$

Этап 3.2.1.2.3.2

Точное значение $\tan (0)$ : $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{\csc (x)}}$

Этап 3.2.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1

Применим тригонометрические тождества.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1.1

Выразим $\csc (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{\frac{1}{\sin (x)}}}$

Этап 3.2.1.3.1.2

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{-}} 1 \sin (x)}$

Этап 3.2.1.3.1.3

Умножим $\sin (x)$ на $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{-}} \sin (x)}$

Этап 3.2.1.3.2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0^{-}} x)}$

Этап 3.2.1.3.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{\sin (0)}$

Этап 3.2.1.3.4

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 3.2.1.3.5

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 3.2.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 3.2.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\tan (n x)}{\frac{1}{\csc (x)}} = lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (n x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\csc (x)}]}$

Этап 3.2.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (n x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\csc (x)}]}$

Этап 3.2.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \tan (x)$ и $g (x) = n x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $n x$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [n x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\csc (x)}]}$

Этап 3.2.3.2.2

Производная $\tan (u)$ по $u$ равна $\sec^{2} (u)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [n x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\csc (x)}]}$

Этап 3.2.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $n x$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\sec^{2} (n x) \frac{d}{d x} [n x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\csc (x)}]}$

Этап 3.2.3.3

Поскольку $n$ является константой относительно $x$ , производная $n x$ по $x$ равна $n \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\sec^{2} (n x) (n \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\csc (x)}]}$

Этап 3.2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\sec^{2} (n x) (n \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\csc (x)}]}$

Этап 3.2.3.5

Умножим $n$ на $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\sec^{2} (n x) n}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\csc (x)}]}$

Этап 3.2.3.6

Изменим порядок множителей в $\sec^{2} (n x) n$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{n \sec^{2} (n x)}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\csc (x)}]}$

Этап 3.2.3.7

Выразим $\csc (x)$ через синусы и косинусы.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{n \sec^{2} (n x)}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\frac{1}{\sin (x)}}]}$

Этап 3.2.3.8

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{n \sec^{2} (n x)}{\frac{d}{d x} [1 \sin (x)]}$

Этап 3.2.3.9

Умножим $\sin (x)$ на $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{n \sec^{2} (n x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Этап 3.2.3.10

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{n \sec^{2} (n x)}{\cos (x)}$

Этап 3.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Выразим $\sec (n x)$ через синусы и косинусы.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{n {(\frac{1}{\cos (n x)})}^{2}}{\cos (x)}$

Этап 3.2.4.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{\cos (n x)}$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{n \frac{1^{2}}{\cos^{2} (n x)}}{\cos (x)}$

Этап 3.2.4.3

Единица в любой степени равна единице.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{n \frac{1}{\cos^{2} (n x)}}{\cos (x)}$

Этап 3.2.5

Объединим $n$ и $\frac{1}{\cos^{2} (n x)}$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{n}{\cos^{2} (n x)}}{\cos (x)}$

Этап 3.2.6

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{n}{\cos^{2} (n x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Этап 3.2.7

Объединим.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{n \cdot 1}{\cos^{2} (n x) \cos (x)}$

Этап 3.2.8

Умножим $n$ на $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{n}{\cos^{2} (n x) \cos (x)}$

Этап 3.2.9

Умножим на $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{n}{\cos^{2} (n x) \cdot 1 \cos (x)}$

Этап 3.2.10

Разделим дроби.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{n}{1 \cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (n x)}$

Этап 3.2.11

Переведем $\frac{1}{\cos^{2} (n x)}$ в $\sec^{2} (n x)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{n}{1 \cos (x)} \sec^{2} (n x)$

Этап 3.2.12

Умножим $\cos (x)$ на $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{n}{\cos (x)} \sec^{2} (n x)$

Этап 3.2.13

Разделим дроби.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{n}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} \sec^{2} (n x)$

Этап 3.2.14

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{n}{1} \sec (x) \sec^{2} (n x)$

Этап 3.2.15

Разделим $n$ на $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} n \sec (x) \sec^{2} (n x)$

Этап 3.3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вынесем член $n$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$n lim_{x \to 0^{-}} \sec (x) \sec^{2} (n x)$

Этап 3.3.2

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$n lim_{x \to 0^{-}} \sec (x) \cdot lim_{x \to 0^{-}} \sec^{2} (n x)$

Этап 3.3.3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку секанс — непрерывная функция.

$n \sec (lim_{x \to 0^{-}} x) \cdot lim_{x \to 0^{-}} \sec^{2} (n x)$

Этап 3.3.4

Вынесем степень $2$ в выражении $\sec^{2} (n x)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$n \sec (lim_{x \to 0^{-}} x) \cdot {(lim_{x \to 0^{-}} \sec (n x))}^{2}$

Этап 3.3.5

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку секанс — непрерывная функция.

$n \sec (lim_{x \to 0^{-}} x) \cdot \sec^{2} (lim_{x \to 0^{-}} n x)$

Этап 3.3.6

Вынесем член $n$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$n \sec (lim_{x \to 0^{-}} x) \cdot \sec^{2} (n lim_{x \to 0^{-}} x)$

Этап 3.4

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$n \sec (0) \cdot \sec^{2} (n lim_{x \to 0^{-}} x)$

Этап 3.4.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$n \sec (0) \cdot \sec^{2} (n \cdot 0)$

Этап 3.5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Точное значение $\sec (0)$ : $1$ .

$n \cdot 1 \cdot \sec^{2} (n \cdot 0)$

Этап 3.5.2

Умножим $n$ на $1$ .

$n \cdot \sec^{2} (n \cdot 0)$

Этап 3.5.3

Умножим $n$ на $0$ .

$n \cdot \sec^{2} (0)$

Этап 3.5.4

Точное значение $\sec (0)$ : $1$ .

$n \cdot 1^{2}$

Этап 3.5.5

Единица в любой степени равна единице.

$n \cdot 1$

Этап 3.5.6

Умножим $n$ на $1$ .

$n$

Этап 4

Рассмотрим предел как правосторонний.

$lim_{x \to 0^{+}} \tan (n x) \csc (x)$

Этап 5

Вычислим правосторонний предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем $\tan (n x) \csc (x)$ в виде $\frac{\tan (n x)}{\frac{1}{\csc (x)}}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\tan (n x)}{\frac{1}{\csc (x)}}$

Этап 5.2

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} \tan (n x)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\csc (x)}}$

Этап 5.2.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.2.1.1

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку тангенс — непрерывная функция.

$\frac{\tan (lim_{x \to 0^{+}} n x)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\csc (x)}}$

Этап 5.2.1.2.1.2

Вынесем член $n$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\tan (n lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\csc (x)}}$

Этап 5.2.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{\tan (n \cdot 0)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\csc (x)}}$

Этап 5.2.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.2.3.1

Умножим $n$ на $0$ .

$\frac{\tan (0)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\csc (x)}}$

Этап 5.2.1.2.3.2

Точное значение $\tan (0)$ : $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\csc (x)}}$

Этап 5.2.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.3.1

Применим тригонометрические тождества.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.3.1.1

Выразим $\csc (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\frac{1}{\sin (x)}}}$

Этап 5.2.1.3.1.2

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} 1 \sin (x)}$

Этап 5.2.1.3.1.3

Умножим $\sin (x)$ на $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \sin (x)}$

Этап 5.2.1.3.2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0^{+}} x)}$

Этап 5.2.1.3.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{\sin (0)}$

Этап 5.2.1.3.4

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 5.2.1.3.5

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 5.2.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 5.2.2

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\tan (n x)}{\frac{1}{\csc (x)}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (n x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\csc (x)}]}$

Этап 5.2.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (n x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\csc (x)}]}$

Этап 5.2.3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $n x$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [n x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\csc (x)}]}$

Этап 5.2.3.2.2

Производная $\tan (u)$ по $u$ равна $\sec^{2} (u)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [n x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\csc (x)}]}$

Этап 5.2.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $n x$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sec^{2} (n x) \frac{d}{d x} [n x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\csc (x)}]}$

Этап 5.2.3.3

Поскольку $n$ является константой относительно $x$ , производная $n x$ по $x$ равна $n \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sec^{2} (n x) (n \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\csc (x)}]}$

Этап 5.2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sec^{2} (n x) (n \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\csc (x)}]}$

Этап 5.2.3.5

Умножим $n$ на $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sec^{2} (n x) n}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\csc (x)}]}$

Этап 5.2.3.6

Изменим порядок множителей в $\sec^{2} (n x) n$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{n \sec^{2} (n x)}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\csc (x)}]}$

Этап 5.2.3.7

Выразим $\csc (x)$ через синусы и косинусы.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{n \sec^{2} (n x)}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\frac{1}{\sin (x)}}]}$

Этап 5.2.3.8

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{n \sec^{2} (n x)}{\frac{d}{d x} [1 \sin (x)]}$

Этап 5.2.3.9

Умножим $\sin (x)$ на $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{n \sec^{2} (n x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Этап 5.2.3.10

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{n \sec^{2} (n x)}{\cos (x)}$

Этап 5.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Выразим $\sec (n x)$ через синусы и косинусы.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{n {(\frac{1}{\cos (n x)})}^{2}}{\cos (x)}$

Этап 5.2.4.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{\cos (n x)}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{n \frac{1^{2}}{\cos^{2} (n x)}}{\cos (x)}$

Этап 5.2.4.3

Единица в любой степени равна единице.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{n \frac{1}{\cos^{2} (n x)}}{\cos (x)}$

Этап 5.2.5

Объединим $n$ и $\frac{1}{\cos^{2} (n x)}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{n}{\cos^{2} (n x)}}{\cos (x)}$

Этап 5.2.6

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{n}{\cos^{2} (n x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Этап 5.2.7

Объединим.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{n \cdot 1}{\cos^{2} (n x) \cos (x)}$

Этап 5.2.8

Умножим $n$ на $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{n}{\cos^{2} (n x) \cos (x)}$

Этап 5.2.9

Умножим на $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{n}{\cos^{2} (n x) \cdot 1 \cos (x)}$

Этап 5.2.10

Разделим дроби.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{n}{1 \cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (n x)}$

Этап 5.2.11

Переведем $\frac{1}{\cos^{2} (n x)}$ в $\sec^{2} (n x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{n}{1 \cos (x)} \sec^{2} (n x)$

Этап 5.2.12

Умножим $\cos (x)$ на $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{n}{\cos (x)} \sec^{2} (n x)$

Этап 5.2.13

Разделим дроби.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{n}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} \sec^{2} (n x)$

Этап 5.2.14

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{n}{1} \sec (x) \sec^{2} (n x)$

Этап 5.2.15

Разделим $n$ на $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} n \sec (x) \sec^{2} (n x)$

Этап 5.3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вынесем член $n$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$n lim_{x \to 0^{+}} \sec (x) \sec^{2} (n x)$

Этап 5.3.2

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$n lim_{x \to 0^{+}} \sec (x) \cdot lim_{x \to 0^{+}} \sec^{2} (n x)$

Этап 5.3.3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку секанс — непрерывная функция.

$n \sec (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot lim_{x \to 0^{+}} \sec^{2} (n x)$

Этап 5.3.4

Вынесем степень $2$ в выражении $\sec^{2} (n x)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$n \sec (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot {(lim_{x \to 0^{+}} \sec (n x))}^{2}$

Этап 5.3.5

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку секанс — непрерывная функция.

$n \sec (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot \sec^{2} (lim_{x \to 0^{+}} n x)$

Этап 5.3.6

Вынесем член $n$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$n \sec (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot \sec^{2} (n lim_{x \to 0^{+}} x)$

Этап 5.4

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$n \sec (0) \cdot \sec^{2} (n lim_{x \to 0^{+}} x)$

Этап 5.4.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$n \sec (0) \cdot \sec^{2} (n \cdot 0)$

Этап 5.5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Точное значение $\sec (0)$ : $1$ .

$n \cdot 1 \cdot \sec^{2} (n \cdot 0)$

Этап 5.5.2

Умножим $n$ на $1$ .

$n \cdot \sec^{2} (n \cdot 0)$

Этап 5.5.3

Умножим $n$ на $0$ .

$n \cdot \sec^{2} (0)$

Этап 5.5.4

Точное значение $\sec (0)$ : $1$ .

$n \cdot 1^{2}$

Этап 5.5.5

Единица в любой степени равна единице.

$n \cdot 1$

Этап 5.5.6

Умножим $n$ на $1$ .

$n$

Этап 6

Так как левосторонний предел совпадает с правосторонним, предел равен $n$ .

$n$