Математический анализ Примеры

$4 x^{3} - 3 x y^{2} + y^{3} = 28$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (4 x^{3} - 3 x y^{2} + y^{3}) = \frac{d}{d x} (28)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $4 x^{3} - 3 x y^{2} + y^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{3}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Этап 2.2.3

Умножим $3$ на $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x y^{2}$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

$12 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = y^{2}$ .

$12 x^{2} - 3 (x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Этап 2.3.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $y$ .

$12 x^{2} - 3 (x (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Этап 2.3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$12 x^{2} - 3 (x (2 u_{1} \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Этап 2.3.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $y$ .

$12 x^{2} - 3 (x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Этап 2.3.4

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$12 x^{2} - 3 (x (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Этап 2.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$12 x^{2} - 3 (x (2 y y') + y^{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Этап 2.3.6

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$12 x^{2} - 3 (2 \cdot x y y' + y^{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Этап 2.3.7

Умножим $y^{2}$ на $1$ .

$12 x^{2} - 3 (2 x y y' + y^{2}) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Этап 2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $y$ .

$12 x^{2} - 3 (2 x y y' + y^{2}) + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.4.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$12 x^{2} - 3 (2 x y y' + y^{2}) + 3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.4.1.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $y$ .

$12 x^{2} - 3 (2 x y y' + y^{2}) + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.4.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$12 x^{2} - 3 (2 x y y' + y^{2}) + 3 y^{2} y'$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$12 x^{2} - 3 (2 x y y') - 3 y^{2} + 3 y^{2} y'$

Этап 2.5.2

Умножим $2$ на $- 3$ .

$12 x^{2} - 6 x y y' - 3 y^{2} + 3 y^{2} y'$

Этап 2.5.3

Изменим порядок членов.

$12 x^{2} - 3 y^{2} - 6 x y y' + 3 y^{2} y'$

Этап 3

Поскольку $28$ является константой относительно $x$ , производная $28$ относительно $x$ равна $0$ .

$0$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$12 x^{2} - 3 y^{2} - 6 x y y' + 3 y^{2} y' = 0$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перенесем все члены без $y'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вычтем $12 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$- 3 y^{2} - 6 x y y' + 3 y^{2} y' = - 12 x^{2}$

Этап 5.1.2

Добавим $3 y^{2}$ к обеим частям уравнения.

$- 6 x y y' + 3 y^{2} y' = - 12 x^{2} + 3 y^{2}$

Этап 5.2

Вынесем множитель $3 y y'$ из $- 6 x y y' + 3 y^{2} y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $3 y y'$ из $- 6 x y y'$ .

$3 y y' (- 2 x) + 3 y^{2} y' = - 12 x^{2} + 3 y^{2}$

Этап 5.2.2

Вынесем множитель $3 y y'$ из $3 y^{2} y'$ .

$3 y y' (- 2 x) + 3 y y' y = - 12 x^{2} + 3 y^{2}$

Этап 5.2.3

Вынесем множитель $3 y y'$ из $3 y y' (- 2 x) + 3 y y' y$ .

$3 y y' (- 2 x + y) = - 12 x^{2} + 3 y^{2}$

Этап 5.3

Разделим каждый член $3 y y' (- 2 x + y) = - 12 x^{2} + 3 y^{2}$ на $3 y (- 2 x + y)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $3 y y' (- 2 x + y) = - 12 x^{2} + 3 y^{2}$ на $3 y (- 2 x + y)$ .

$\frac{3 y y' (- 2 x + y)}{3 y (- 2 x + y)} = \frac{- 12 x^{2}}{3 y (- 2 x + y)} + \frac{3 y^{2}}{3 y (- 2 x + y)}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 y y' (- 2 x + y)}{3 y (- 2 x + y)} = \frac{- 12 x^{2}}{3 y (- 2 x + y)} + \frac{3 y^{2}}{3 y (- 2 x + y)}$

Этап 5.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y y' (- 2 x + y)}{y (- 2 x + y)} = \frac{- 12 x^{2}}{3 y (- 2 x + y)} + \frac{3 y^{2}}{3 y (- 2 x + y)}$

Этап 5.3.2.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y y' (- 2 x + y)}{y (- 2 x + y)} = \frac{- 12 x^{2}}{3 y (- 2 x + y)} + \frac{3 y^{2}}{3 y (- 2 x + y)}$

Этап 5.3.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' (- 2 x + y)}{- 2 x + y} = \frac{- 12 x^{2}}{3 y (- 2 x + y)} + \frac{3 y^{2}}{3 y (- 2 x + y)}$

Этап 5.3.2.3

Сократим общий множитель $- 2 x + y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (- 2 x + y)}{- 2 x + y} = \frac{- 12 x^{2}}{3 y (- 2 x + y)} + \frac{3 y^{2}}{3 y (- 2 x + y)}$

Этап 5.3.2.3.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- 12 x^{2}}{3 y (- 2 x + y)} + \frac{3 y^{2}}{3 y (- 2 x + y)}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1

Сократим общий множитель $- 12$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1.1

Вынесем множитель $3$ из $- 12 x^{2}$ .

$y' = \frac{3 (- 4 x^{2})}{3 y (- 2 x + y)} + \frac{3 y^{2}}{3 y (- 2 x + y)}$

Этап 5.3.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3 y (- 2 x + y)$ .

$y' = \frac{3 (- 4 x^{2})}{3 (y (- 2 x + y))} + \frac{3 y^{2}}{3 y (- 2 x + y)}$

Этап 5.3.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{3 (- 4 x^{2})}{3 (y (- 2 x + y))} + \frac{3 y^{2}}{3 y (- 2 x + y)}$

Этап 5.3.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{- 4 x^{2}}{y (- 2 x + y)} + \frac{3 y^{2}}{3 y (- 2 x + y)}$

Этап 5.3.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{4 x^{2}}{y (- 2 x + y)} + \frac{3 y^{2}}{3 y (- 2 x + y)}$

Этап 5.3.3.1.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.3.1

Сократим общий множитель.

$y' = - \frac{4 x^{2}}{y (- 2 x + y)} + \frac{3 y^{2}}{3 y (- 2 x + y)}$

Этап 5.3.3.1.3.2

Перепишем это выражение.

$y' = - \frac{4 x^{2}}{y (- 2 x + y)} + \frac{y^{2}}{y (- 2 x + y)}$

Этап 5.3.3.1.4

Сократим общий множитель $y^{2}$ и $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.4.1

Вынесем множитель $y$ из $y^{2}$ .

$y' = - \frac{4 x^{2}}{y (- 2 x + y)} + \frac{y \cdot y}{y (- 2 x + y)}$

Этап 5.3.3.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.4.2.1

Сократим общий множитель.

$y' = - \frac{4 x^{2}}{y (- 2 x + y)} + \frac{y \cdot y}{y (- 2 x + y)}$

Этап 5.3.3.1.4.2.2

Перепишем это выражение.

$y' = - \frac{4 x^{2}}{y (- 2 x + y)} + \frac{y}{- 2 x + y}$

Этап 5.3.3.2

Чтобы записать $\frac{y}{- 2 x + y}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{y}{y}$ .

$y' = - \frac{4 x^{2}}{y (- 2 x + y)} + \frac{y}{- 2 x + y} \cdot \frac{y}{y}$

Этап 5.3.3.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $y (- 2 x + y)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.1

Умножим $\frac{y}{- 2 x + y}$ на $\frac{y}{y}$ .

$y' = - \frac{4 x^{2}}{y (- 2 x + y)} + \frac{y \cdot y}{(- 2 x + y) y}$

Этап 5.3.3.3.2

Изменим порядок множителей в $(- 2 x + y) y$ .

$y' = - \frac{4 x^{2}}{y (- 2 x + y)} + \frac{y \cdot y}{y (- 2 x + y)}$

Этап 5.3.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{- 4 x^{2} + y \cdot y}{y (- 2 x + y)}$

Этап 5.3.3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.5.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$y' = \frac{- 4 x^{2} + y^{1} y}{y (- 2 x + y)}$

Этап 5.3.3.5.2

Возведем $y$ в степень $1$ .

$y' = \frac{- 4 x^{2} + y^{1} y^{1}}{y (- 2 x + y)}$

Этап 5.3.3.5.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y' = \frac{- 4 x^{2} + y^{1 + 1}}{y (- 2 x + y)}$

Этап 5.3.3.5.4

Добавим $1$ и $1$ .

$y' = \frac{- 4 x^{2} + y^{2}}{y (- 2 x + y)}$

Этап 5.3.3.5.5

Перепишем $4 x^{2}$ в виде ${(2 x)}^{2}$ .

$y' = \frac{- {(2 x)}^{2} + y^{2}}{y (- 2 x + y)}$

Этап 5.3.3.5.6

Изменим порядок $- {(2 x)}^{2}$ и $y^{2}$ .

$y' = \frac{y^{2} - {(2 x)}^{2}}{y (- 2 x + y)}$

Этап 5.3.3.5.7

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = y$ и $b = 2 x$ .

$y' = \frac{(y + 2 x) (y - (2 x))}{y (- 2 x + y)}$

Этап 5.3.3.5.8

Умножим $2$ на $- 1$ .

$y' = \frac{(y + 2 x) (y - 2 x)}{y (- 2 x + y)}$

Этап 5.3.3.6

Сократим общий множитель $y - 2 x$ и $- 2 x + y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.6.1

Изменим порядок членов.

$y' = \frac{(y + 2 x) (- 2 x + y)}{y (- 2 x + y)}$

Этап 5.3.3.6.2

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{(y + 2 x) (- 2 x + y)}{y (- 2 x + y)}$

Этап 5.3.3.6.3

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{y + 2 x}{y}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y + 2 x}{y}$