Математический анализ Примеры

$\int \frac{2 e^{\frac{1}{x^{2}}}}{3 x^{3}} d x$

Этап 1

Поскольку $\frac{2}{3}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{2}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{2}{3} \int \frac{e^{\frac{1}{x^{2}}}}{x^{3}} d x$

Этап 2

Пусть $u = \frac{1}{x^{2}}$ . Тогда $d u = - \frac{2}{x^{3}} d x$ , следовательно $1 d u = - \frac{2}{x^{3}} d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = \frac{1}{x^{2}}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Этап 2.1.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Перепишем $\frac{1}{x^{2}}$ в виде ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Этап 2.1.2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}]$

Этап 2.1.2.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Этап 2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 2$ .

$- 2 x^{- 3}$

Этап 2.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{x^{3}}$

Этап 2.1.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.1

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{- 2}{x^{3}}$

Этап 2.1.4.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2}{x^{3}}$

Этап 2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\frac{2}{3} \int - \frac{1}{2} e^{u} d u$

Этап 3

Поскольку $- \frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- \frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $\frac{2}{3}$ на $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{2}{3 \cdot 2} \int e^{u} d u$

Этап 4.2

Умножим $3$ на $2$ .

$- \frac{2}{6} \int e^{u} d u$

Этап 4.3

Сократим общий множитель $2$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- \frac{2 (1)}{6} \int e^{u} d u$

Этап 4.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int e^{u} d u$

Этап 4.3.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int e^{u} d u$

Этап 4.3.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{3} \int e^{u} d u$

Этап 5

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$- \frac{1}{3} (e^{u} + C)$

Этап 6

Упростим.

$- \frac{1}{3} e^{u} + C$

Этап 7

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{1}{x^{2}}$ .

$- \frac{1}{3} e^{\frac{1}{x^{2}}} + C$