Математический анализ Примеры

$\frac{\sin (x)}{\cos^{5} (x)}$

Этап 1

Запишем $\frac{\sin (x)}{\cos^{5} (x)}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{\sin (x)}{\cos^{5} (x)}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{\sin (x)}{\cos^{5} (x)} d x$

Этап 4

Пусть $u = \cos (x)$ . Тогда $d u = - \sin (x) d x$ , следовательно $- d u = \sin (x) d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u = \cos (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 4.1.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Этап 4.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{- 1}{u^{5}} d u$

Этап 5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int - \frac{1}{u^{5}} d u$

Этап 6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int \frac{1}{u^{5}} d u$

Этап 7

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем $u^{5}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$- \int {(u^{5})}^{- 1} d u$

Этап 7.2

Перемножим экспоненты в ${(u^{5})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \int u^{5 \cdot - 1} d u$

Этап 7.2.2

Умножим $5$ на $- 1$ .

$- \int u^{- 5} d u$

Этап 8

По правилу степени интеграл $u^{- 5}$ по $u$ имеет вид $- \frac{1}{4} u^{- 4}$ .

$- (- \frac{1}{4} u^{- 4} + C)$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Объединим $u^{- 4}$ и $\frac{1}{4}$ .

$- (- \frac{u^{- 4}}{4} + C)$

Этап 9.1.2

Перенесем $u^{- 4}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- (- \frac{1}{4 u^{4}} + C)$

Этап 9.2

Упростим.

$- - \frac{1}{4 u^{4}} + C$

Этап 9.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \frac{1}{4 u^{4}} + C$

Этап 9.3.2

Умножим $\frac{1}{4 u^{4}}$ на $1$ .

$\frac{1}{4 u^{4}} + C$

Этап 10

Заменим все вхождения $u$ на $\cos (x)$ .

$\frac{1}{4 \cos^{4} (x)} + C$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Умножим на $1$ .

$\frac{1}{4 (\cos^{4} (x) \cdot 1)} + C$

Этап 11.2

Разделим дроби.

$\frac{1}{4 \cdot (1)} \cdot \frac{1}{\cos^{4} (x)} + C$

Этап 11.3

Переведем $\frac{1}{\cos^{4} (x)}$ в $\sec^{4} (x)$ .

$\frac{1}{4 \cdot (1)} \sec^{4} (x) + C$

Этап 11.4

Умножим $4$ на $1$ .

$\frac{1}{4} \sec^{4} (x) + C$

Этап 11.5

Объединим $\frac{1}{4}$ и $\sec^{4} (x)$ .

$\frac{\sec^{4} (x)}{4} + C$

Этап 11.6

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{4} \sec^{4} (x) + C$

Этап 12

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{\sin (x)}{\cos^{5} (x)}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{4} \sec^{4} (x) + C$