Математический анализ Примеры

$\int_{4}^{6} \frac{x^{2} + 2}{x - 2} d x$

Этап 1

Разделим $x^{2} + 2$ на $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$2$

$x^{2}$

$0 x$

$2$

Этап 1.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x$
	$x$	-	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$

Этап 1.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x$
$x$	-	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			+	$x^{2}$	-	$2 x$

Этап 1.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{2} - 2 x$ .

				$x$
$x$	-	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{2}$	+	$2 x$

Этап 1.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x$
$x$	-	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$2 x$

Этап 1.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x$
$x$	-	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$2 x$	+	$2$

Этап 1.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $2 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x$	+	$2$
$x$	-	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$2 x$	+	$2$

Этап 1.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x$	+	$2$
$x$	-	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$2 x$	+	$2$
					+	$2 x$	-	$4$

Этап 1.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $2 x - 4$ .

				$x$	+	$2$
$x$	-	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$2 x$	+	$2$
					-	$2 x$	+	$4$

Этап 1.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x$	+	$2$
$x$	-	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$2 x$	+	$2$
					-	$2 x$	+	$4$
							+	$6$

Этап 1.11

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$\int_{4}^{6} x + 2 + \frac{6}{x - 2} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{4}^{6} x d x + \int_{4}^{6} 2 d x + \int_{4}^{6} \frac{6}{x - 2} d x$

Этап 3

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{4}^{6} + \int_{4}^{6} 2 d x + \int_{4}^{6} \frac{6}{x - 2} d x$

Этап 4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{4}^{6} + 2 x]_{4}^{6} + \int_{4}^{6} \frac{6}{x - 2} d x$

Этап 5

Поскольку $6$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $6$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{4}^{6} + 2 x]_{4}^{6} + 6 \int_{4}^{6} \frac{1}{x - 2} d x$

Этап 6

Пусть $u = x - 2$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть $u = x - 2$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Дифференцируем $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Этап 6.1.2

По правилу суммы производная $x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 6.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 6.1.4

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 6.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 6.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = x - 2$ .

$u_{lower} = 4 - 2$

Этап 6.3

Вычтем $2$ из $4$ .

$u_{lower} = 2$

Этап 6.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = x - 2$ .

$u_{upper} = 6 - 2$

Этап 6.5

Вычтем $2$ из $6$ .

$u_{upper} = 4$

Этап 6.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 4$

Этап 6.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{4}^{6} + 2 x]_{4}^{6} + 6 \int_{2}^{4} \frac{1}{u} d u$

Этап 7

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{4}^{6} + 2 x]_{4}^{6} + 6 (\ln (| u |)]_{2}^{4})$

Этап 8

Объединим $\frac{1}{2} x^{2}]_{4}^{6}$ и $2 x]_{4}^{6}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + 2 x]_{4}^{6} + 6 (\ln (| u |)]_{2}^{4})$

Этап 9

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем значение $\frac{1}{2} x^{2} + 2 x$ в $6$ и в $4$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 2 \cdot 6) - (\frac{1}{2} \cdot 4^{2} + 2 \cdot 4) + 6 (\ln (| u |)]_{2}^{4})$

Этап 9.2

Найдем значение $\ln (| u |)$ в $4$ и в $2$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 2 \cdot 6) - (\frac{1}{2} \cdot 4^{2} + 2 \cdot 4) + 6 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Этап 9.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Возведем $6$ в степень $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot 36 + 2 \cdot 6 - (\frac{1}{2} \cdot 4^{2} + 2 \cdot 4) + 6 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Этап 9.3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $36$ .

$\frac{36}{2} + 2 \cdot 6 - (\frac{1}{2} \cdot 4^{2} + 2 \cdot 4) + 6 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Этап 9.3.3

Сократим общий множитель $36$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.1

Вынесем множитель $2$ из $36$ .

$\frac{2 \cdot 18}{2} + 2 \cdot 6 - (\frac{1}{2} \cdot 4^{2} + 2 \cdot 4) + 6 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Этап 9.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 \cdot 18}{2 (1)} + 2 \cdot 6 - (\frac{1}{2} \cdot 4^{2} + 2 \cdot 4) + 6 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Этап 9.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 1} + 2 \cdot 6 - (\frac{1}{2} \cdot 4^{2} + 2 \cdot 4) + 6 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Этап 9.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{18}{1} + 2 \cdot 6 - (\frac{1}{2} \cdot 4^{2} + 2 \cdot 4) + 6 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Этап 9.3.3.2.4

Разделим $18$ на $1$ .

$18 + 2 \cdot 6 - (\frac{1}{2} \cdot 4^{2} + 2 \cdot 4) + 6 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Этап 9.3.4

Умножим $2$ на $6$ .

$18 + 12 - (\frac{1}{2} \cdot 4^{2} + 2 \cdot 4) + 6 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Этап 9.3.5

Добавим $18$ и $12$ .

$30 - (\frac{1}{2} \cdot 4^{2} + 2 \cdot 4) + 6 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Этап 9.3.6

Возведем $4$ в степень $2$ .

$30 - (\frac{1}{2} \cdot 16 + 2 \cdot 4) + 6 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Этап 9.3.7

Объединим $\frac{1}{2}$ и $16$ .

$30 - (\frac{16}{2} + 2 \cdot 4) + 6 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Этап 9.3.8

Сократим общий множитель $16$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.8.1

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$30 - (\frac{2 \cdot 8}{2} + 2 \cdot 4) + 6 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Этап 9.3.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.8.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$30 - (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} + 2 \cdot 4) + 6 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Этап 9.3.8.2.2

Сократим общий множитель.

$30 - (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} + 2 \cdot 4) + 6 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Этап 9.3.8.2.3

Перепишем это выражение.

$30 - (\frac{8}{1} + 2 \cdot 4) + 6 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Этап 9.3.8.2.4

Разделим $8$ на $1$ .

$30 - (8 + 2 \cdot 4) + 6 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Этап 9.3.9

Умножим $2$ на $4$ .

$30 - (8 + 8) + 6 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Этап 9.3.10

Добавим $8$ и $8$ .

$30 - 1 \cdot 16 + 6 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Этап 9.3.11

Умножим $- 1$ на $16$ .

$30 - 16 + 6 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Этап 9.3.12

Вычтем $16$ из $30$ .

$14 + 6 (\ln (| 4 |) - \ln (| 2 |))$

Этап 10

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$14 + 6 \ln (\frac{| 4 |}{| 2 |})$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $4$ равно $4$ .

$14 + 6 \ln (\frac{4}{| 2 |})$

Этап 11.2

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$14 + 6 \ln (\frac{4}{2})$

Этап 11.3

Разделим $4$ на $2$ .

$14 + 6 \ln (2)$

Этап 12

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$14 + 6 \ln (2)$

Десятичная форма:

$18.15888308 \dots$

Этап 13