Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x} - \sqrt{2 x - 1}}{x - 1}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 1} \sqrt{x} - \sqrt{2 x - 1}}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} \sqrt{x} - lim_{x \to 1} \sqrt{2 x - 1}}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Этап 1.1.2.2

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 1} x} - lim_{x \to 1} \sqrt{2 x - 1}}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Этап 1.1.2.3

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 1} x} - \sqrt{lim_{x \to 1} 2 x - 1}}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Этап 1.1.2.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 1} x} - \sqrt{lim_{x \to 1} 2 x - lim_{x \to 1} 1}}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Этап 1.1.2.5

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 1} x} - \sqrt{2 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Этап 1.1.2.6

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 1} x} - \sqrt{2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Этап 1.1.2.7

Найдем значения пределов, подставив значение $1$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.7.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{\sqrt{1} - \sqrt{2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Этап 1.1.2.7.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{\sqrt{1} - \sqrt{2 \cdot 1 - 1 \cdot 1}}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Этап 1.1.2.8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.8.1.1

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$\frac{1 - \sqrt{2 \cdot 1 - 1 \cdot 1}}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Этап 1.1.2.8.1.2

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{1 - \sqrt{2 - 1 \cdot 1}}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Этап 1.1.2.8.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1 - \sqrt{2 - 1}}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Этап 1.1.2.8.1.4

Вычтем $1$ из $2$ .

$\frac{1 - \sqrt{1}}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Этап 1.1.2.8.1.5

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Этап 1.1.2.8.1.6

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Этап 1.1.2.8.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}$

Этап 1.1.3.1.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}$

Этап 1.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Этап 1.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Этап 1.1.3.3.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x} - \sqrt{2 x - 1}}{x - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - \sqrt{2 x - 1}]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - \sqrt{2 x - 1}]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $\sqrt{x} - \sqrt{2 x - 1}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2 x - 1}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2 x - 1}]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 1.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2 x - 1}]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 1.3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2 x - 1}]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 1.3.3.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2 x - 1}]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 1.3.3.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2 x - 1}]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 1.3.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2 x - 1}]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 1.3.3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2 x - 1}]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 1.3.3.6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2 x - 1}]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 1.3.3.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2 x - 1}]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 1.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \sqrt{2 x - 1}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 x - 1}$ в виде ${(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 1.3.4.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 1.3.4.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = 2 x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x - 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 1.3.4.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 1.3.4.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x - 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 1.3.4.4

По правилу суммы производная $2 x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]))}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 1.3.4.5

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]))}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 1.3.4.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]))}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 1.3.4.7

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 \cdot 1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 1.3.4.8

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (2 \cdot 1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 1.3.4.9

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (2 \cdot 1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 1.3.4.10

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} {(2 x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (2 \cdot 1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 1.3.4.11

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.11.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} {(2 x - 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} (2 \cdot 1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 1.3.4.11.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} {(2 x - 1)}^{\frac{- 1}{2}} (2 \cdot 1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 1.3.4.12

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} {(2 x - 1)}^{- \frac{1}{2}} (2 \cdot 1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 1.3.4.13

Умножим $2$ на $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} {(2 x - 1)}^{- \frac{1}{2}} (2 + 0))}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 1.3.4.14

Добавим $2$ и $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} {(2 x - 1)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 2)}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 1.3.4.15

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(2 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{{(2 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 2)}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 1.3.4.16

Объединим $\frac{{(2 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ и $2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{{(2 x - 1)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 2}{2}}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 1.3.4.17

Перенесем $2$ влево от ${(2 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{2 \cdot {(2 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 1.3.4.18

Перенесем ${(2 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{2}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 1.3.4.19

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{2}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 1.3.4.20

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{1}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 1.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 1.3.5.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 1.3.6

По правилу суммы производная $x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 1.3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{1 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 1.3.8

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{1 + 0}$

Этап 1.3.9

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Этап 1.4

Переведем дробные показатели степени в форму с радикалами.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Перепишем $x^{\frac{1}{2}}$ в виде $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2 \sqrt{x}} - \frac{1}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Этап 1.4.2

Перепишем ${(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ в виде $\sqrt{2 x - 1}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2 \sqrt{x}} - \frac{1}{\sqrt{2 x - 1}}}{1}$

Этап 1.5

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Чтобы записать $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\sqrt{2 x - 1}}{\sqrt{2 x - 1}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{2 x - 1}}{\sqrt{2 x - 1}} - \frac{1}{\sqrt{2 x - 1}}}{1}$

Этап 1.5.2

Чтобы записать $- \frac{1}{\sqrt{2 x - 1}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2 \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{2 x - 1}}{\sqrt{2 x - 1}} - \frac{1}{\sqrt{2 x - 1}} \cdot \frac{2 \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}}}{1}$

Этап 1.5.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $2 \sqrt{x} \sqrt{2 x - 1}$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Умножим $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ на $\frac{\sqrt{2 x - 1}}{\sqrt{2 x - 1}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{\sqrt{2 x - 1}}{2 \sqrt{x} \sqrt{2 x - 1}} - \frac{1}{\sqrt{2 x - 1}} \cdot \frac{2 \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}}}{1}$

Этап 1.5.3.2

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{\sqrt{2 x - 1}}{2 \sqrt{(2 x - 1) x}} - \frac{1}{\sqrt{2 x - 1}} \cdot \frac{2 \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}}}{1}$

Этап 1.5.3.3

Умножим $\frac{1}{\sqrt{2 x - 1}}$ на $\frac{2 \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{\sqrt{2 x - 1}}{2 \sqrt{(2 x - 1) x}} - \frac{2 \sqrt{x}}{\sqrt{2 x - 1} (2 \sqrt{x})}}{1}$

Этап 1.5.3.4

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{\sqrt{2 x - 1}}{2 \sqrt{(2 x - 1) x}} - \frac{2 \sqrt{x}}{2 \sqrt{(2 x - 1) x}}}{1}$

Этап 1.5.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{\sqrt{2 x - 1} - 2 \sqrt{x}}{2 \sqrt{(2 x - 1) x}}}{1}$

Этап 1.6

Разделим $\frac{\sqrt{2 x - 1} - 2 \sqrt{x}}{2 \sqrt{(2 x - 1) x}}$ на $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{2 x - 1} - 2 \sqrt{x}}{2 \sqrt{(2 x - 1) x}}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем член $\frac{1}{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{2 x - 1} - 2 \sqrt{x}}{\sqrt{(2 x - 1) x}}$

Этап 2.2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 1} \sqrt{2 x - 1} - 2 \sqrt{x}}{lim_{x \to 1} \sqrt{(2 x - 1) x}}$

Этап 2.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 1} \sqrt{2 x - 1} - lim_{x \to 1} 2 \sqrt{x}}{lim_{x \to 1} \sqrt{(2 x - 1) x}}$

Этап 2.4

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{lim_{x \to 1} 2 x - 1} - lim_{x \to 1} 2 \sqrt{x}}{lim_{x \to 1} \sqrt{(2 x - 1) x}}$

Этап 2.5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{lim_{x \to 1} 2 x - lim_{x \to 1} 1} - lim_{x \to 1} 2 \sqrt{x}}{lim_{x \to 1} \sqrt{(2 x - 1) x}}$

Этап 2.6

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1} - lim_{x \to 1} 2 \sqrt{x}}{lim_{x \to 1} \sqrt{(2 x - 1) x}}$

Этап 2.7

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1} - lim_{x \to 1} 2 \sqrt{x}}{lim_{x \to 1} \sqrt{(2 x - 1) x}}$

Этап 2.8

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1} - 2 lim_{x \to 1} \sqrt{x}}{lim_{x \to 1} \sqrt{(2 x - 1) x}}$

Этап 2.9

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1} - 2 \sqrt{lim_{x \to 1} x}}{lim_{x \to 1} \sqrt{(2 x - 1) x}}$

Этап 2.10

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1} - 2 \sqrt{lim_{x \to 1} x}}{\sqrt{lim_{x \to 1} (2 x - 1) x}}$

Этап 2.11

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1} - 2 \sqrt{lim_{x \to 1} x}}{\sqrt{lim_{x \to 1} 2 x - 1 \cdot lim_{x \to 1} x}}$

Этап 2.12

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1} - 2 \sqrt{lim_{x \to 1} x}}{\sqrt{(lim_{x \to 1} 2 x - lim_{x \to 1} 1) \cdot lim_{x \to 1} x}}$

Этап 2.13

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1} - 2 \sqrt{lim_{x \to 1} x}}{\sqrt{(2 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1) \cdot lim_{x \to 1} x}}$

Этап 2.14

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1} - 2 \sqrt{lim_{x \to 1} x}}{\sqrt{(2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1) \cdot lim_{x \to 1} x}}$

Этап 3

Найдем значения пределов, подставив значение $1$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 \cdot 1 - 1 \cdot 1} - 2 \sqrt{lim_{x \to 1} x}}{\sqrt{(2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1) \cdot lim_{x \to 1} x}}$

Этап 3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 \cdot 1 - 1 \cdot 1} - 2 \sqrt{1}}{\sqrt{(2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1) \cdot lim_{x \to 1} x}}$

Этап 3.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 \cdot 1 - 1 \cdot 1} - 2 \sqrt{1}}{\sqrt{(2 \cdot 1 - 1 \cdot 1) \cdot lim_{x \to 1} x}}$

Этап 3.4

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 \cdot 1 - 1 \cdot 1} - 2 \sqrt{1}}{\sqrt{(2 \cdot 1 - 1 \cdot 1) \cdot 1}}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 - 1 \cdot 1} - 2 \sqrt{1}}{\sqrt{(2 \cdot 1 - 1 \cdot 1) \cdot 1}}$

Этап 4.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 - 1} - 2 \sqrt{1}}{\sqrt{(2 \cdot 1 - 1 \cdot 1) \cdot 1}}$

Этап 4.1.3

Вычтем $1$ из $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{1} - 2 \sqrt{1}}{\sqrt{(2 \cdot 1 - 1 \cdot 1) \cdot 1}}$

Этап 4.1.4

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 - 2 \sqrt{1}}{\sqrt{(2 \cdot 1 - 1 \cdot 1) \cdot 1}}$

Этап 4.1.5

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 - 2 \cdot 1}{\sqrt{(2 \cdot 1 - 1 \cdot 1) \cdot 1}}$

Этап 4.1.6

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 - 2}{\sqrt{(2 \cdot 1 - 1 \cdot 1) \cdot 1}}$

Этап 4.1.7

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1}{\sqrt{(2 \cdot 1 - 1 \cdot 1) \cdot 1}}$

Этап 4.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим $2 \cdot 1 - 1 \cdot 1$ на $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1}{\sqrt{2 \cdot 1 - 1 \cdot 1}}$

Этап 4.2.2

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1}{\sqrt{2 - 1 \cdot 1}}$

Этап 4.2.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1}{\sqrt{2 - 1}}$

Этап 4.2.4

Вычтем $1$ из $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1}{\sqrt{1}}$

Этап 4.2.5

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1}{1}$

Этап 4.3

Разделим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot - 1$

Этап 4.4

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$\frac{- 1}{2}$

Этап 4.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{2}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{1}{2}$

Десятичная форма:

$- 0.5$