Математический анализ Примеры

$lim_{x \to - \infty} \frac{5 x + 5}{7 x^{2} + 1}$

Этап 1

Разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е. $x^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{5 x}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}}{\frac{7 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Сократим общий множитель $x$ и $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $x$ из $5 x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x \cdot 5}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}}{\frac{7 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x \cdot 5}{x \cdot x} + \frac{5}{x^{2}}}{\frac{7 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x \cdot 5}{x \cdot x} + \frac{5}{x^{2}}}{\frac{7 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{5}{x} + \frac{5}{x^{2}}}{\frac{7 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 2.2

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{5}{x} + \frac{5}{x^{2}}}{\frac{7 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 2.2.2

Разделим $7$ на $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{5}{x} + \frac{5}{x^{2}}}{7 + \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 2.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} \frac{5}{x} + \frac{5}{x^{2}}}{lim_{x \to - \infty} 7 + \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 2.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} \frac{5}{x} + lim_{x \to - \infty} \frac{5}{x^{2}}}{lim_{x \to - \infty} 7 + \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 2.5

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{5 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to - \infty} \frac{5}{x^{2}}}{lim_{x \to - \infty} 7 + \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 3

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x}$ стремится к $0$ .

$\frac{5 \cdot 0 + lim_{x \to - \infty} \frac{5}{x^{2}}}{lim_{x \to - \infty} 7 + \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 4

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{5 \cdot 0 + 5 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to - \infty} 7 + \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 5

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x^{2}}$ стремится к $0$ .

$\frac{5 \cdot 0 + 5 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} 7 + \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 6

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- \infty$ .

$\frac{5 \cdot 0 + 5 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} 7 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 6.2

Найдем предел $7$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- \infty$ .

$\frac{5 \cdot 0 + 5 \cdot 0}{7 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 7

$\frac{5 \cdot 0 + 5 \cdot 0}{7 + 0}$

Этап 8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Сократим общий множитель $5 \cdot 0 + 5 \cdot 0$ и $7 + 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Изменим порядок членов.

$\frac{0 \cdot 5 + 0 \cdot 5}{7 + 0}$

Этап 8.1.2

Вынесем множитель $7$ из $0 \cdot 5$ .

$\frac{7 (0 \cdot 5) + 0 \cdot 5}{7 + 0}$

Этап 8.1.3

Вынесем множитель $7$ из $0 \cdot 5$ .

$\frac{7 (0 \cdot 5) + 7 (0 \cdot 5)}{7 + 0}$

Этап 8.1.4

Вынесем множитель $7$ из $7 (0 \cdot 5) + 7 (0 \cdot 5)$ .

$\frac{7 (0 \cdot 5 + 0 \cdot 5)}{7 + 0}$

Этап 8.1.5

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.5.1

Вынесем множитель $7$ из $7$ .

$\frac{7 (0 \cdot 5 + 0 \cdot 5)}{7 (1) + 0}$

Этап 8.1.5.2

Вынесем множитель $7$ из $0$ .

$\frac{7 (0 \cdot 5 + 0 \cdot 5)}{7 \cdot 1 + 7 \cdot 0}$

Этап 8.1.5.3

Вынесем множитель $7$ из $7 \cdot 1 + 7 \cdot 0$ .

$\frac{7 (0 \cdot 5 + 0 \cdot 5)}{7 \cdot (1 + 0)}$

Этап 8.1.5.4

Сократим общий множитель.

$\frac{7 (0 \cdot 5 + 0 \cdot 5)}{7 \cdot (1 + 0)}$

Этап 8.1.5.5

Перепишем это выражение.

$\frac{0 \cdot 5 + 0 \cdot 5}{1 + 0}$

Этап 8.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Умножим $0$ на $5$ .

$\frac{0 + 0 \cdot 5}{1 + 0}$

Этап 8.2.2

Умножим $0$ на $5$ .

$\frac{0 + 0}{1 + 0}$

Этап 8.2.3

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{0}{1 + 0}$

Этап 8.3

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{0}{1}$

Этап 8.4

Разделим $0$ на $1$ .

$0$