Математический анализ Примеры

$y = 3^{\ln (x)}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (3^{\ln (x)})$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = 3^{x}$ и $g (x) = \ln (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [3^{u}] \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Этап 3.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $3$ .

$3^{u} \ln (3) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Этап 3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\ln (x)$ .

$3^{\ln (x)} \ln (3) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Этап 3.2

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$3^{\ln (x)} \ln (3) \frac{1}{x}$

Этап 3.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Объединим $\frac{1}{x}$ и $3^{\ln (x)}$ .

$\frac{3^{\ln (x)}}{x} \ln (3)$

Этап 3.3.2

Объединим $\frac{3^{\ln (x)}}{x}$ и $\ln (3)$ .

$\frac{3^{\ln (x)} \ln (3)}{x}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = \frac{3^{\ln (x)} \ln (3)}{x}$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3^{\ln (x)} \ln (3)}{x}$