Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{{(1 - 4 x)}^{2} - 1}{- 10 x}$

Этап 1

Вынесем член $\frac{1}{- 10}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} \frac{{(1 - 4 x)}^{2} - 1}{x}$

Этап 2

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{1}{- 10} \cdot \frac{lim_{x \to 0} {(1 - 4 x)}^{2} - 1}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{1}{- 10} \cdot \frac{lim_{x \to 0} {(1 - 4 x)}^{2} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.2.1.2

Вынесем степень $2$ в выражении ${(1 - 4 x)}^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{1}{- 10} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} 1 - 4 x)}^{2} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.2.1.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{1}{- 10} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} 4 x)}^{2} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.2.1.4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{1}{- 10} \cdot \frac{{(1 - lim_{x \to 0} 4 x)}^{2} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.2.1.5

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{- 10} \cdot \frac{{(1 - 4 lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.2.1.6

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{1}{- 10} \cdot \frac{{(1 - 4 lim_{x \to 0} x)}^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{- 10} \cdot \frac{{(1 - 4 \cdot 0)}^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1.1

Умножим $- 4$ на $0$ .

$\frac{1}{- 10} \cdot \frac{{(1 + 0)}^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.2.3.1.2

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{1}{- 10} \cdot \frac{1^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.2.3.1.3

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{- 10} \cdot \frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.2.3.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{- 10} \cdot \frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.2.3.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{1}{- 10} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{- 10} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 2.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{1}{- 10} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 2.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{{(1 - 4 x)}^{2} - 1}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(1 - 4 x)}^{2} - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(1 - 4 x)}^{2} - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.2

Перепишем ${(1 - 4 x)}^{2}$ в виде $(1 - 4 x) (1 - 4 x)$ .

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [(1 - 4 x) (1 - 4 x) - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.3

Развернем $(1 - 4 x) (1 - 4 x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 (1 - 4 x) - 4 x (1 - 4 x) - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 \cdot 1 + 1 \cdot - 4 x - 4 x (1 - 4 x) - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 \cdot 1 + 1 \cdot - 4 x - 4 x \cdot 1 - 4 x \cdot - 4 x - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 + 1 \cdot - 4 x - 4 x \cdot 1 - 4 x \cdot - 4 x - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.4.1.2

Умножим $- 4 x$ на $1$ .

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - 4 x - 4 x \cdot 1 - 4 x \cdot - 4 x - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.4.1.3

Умножим $- 4$ на $1$ .

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - 4 x - 4 x - 4 x \cdot - 4 x - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.4.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - 4 x - 4 x - 4 \cdot - 4 x \cdot x - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.4.1.5

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - 4 x - 4 x - 4 \cdot - 4 x^{2} - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.4.1.6

Умножим $- 4$ на $- 4$ .

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - 4 x - 4 x + 16 x^{2} - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.4.2

Вычтем $4 x$ из $- 4 x$ .

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - 8 x + 16 x^{2} - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.5

По правилу суммы производная $1 - 8 x + 16 x^{2} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.6

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.7

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8 x$ по $x$ равна $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} \frac{0 - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.7.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} \frac{0 - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.7.3

Умножим $- 8$ на $1$ .

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} \frac{0 - 8 + \frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.8

Найдем значение $\frac{d}{d x} [16 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.8.1

Поскольку $16$ является константой относительно $x$ , производная $16 x^{2}$ по $x$ равна $16 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} \frac{0 - 8 + 16 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.8.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} \frac{0 - 8 + 16 \cdot 2 x + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.8.3

Умножим $2$ на $16$ .

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} \frac{0 - 8 + 32 x + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.9

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} \frac{0 - 8 + 32 x + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.10.1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.10.1.1

Вычтем $8$ из $0$ .

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} \frac{- 8 + 32 x + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.10.1.2

Добавим $- 8 + 32 x$ и $0$ .

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} \frac{- 8 + 32 x}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.10.2

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} \frac{32 x - 8}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} \frac{32 x - 8}{1}$

Этап 2.4

Разделим $32 x - 8$ на $1$ .

$\frac{1}{- 10} lim_{x \to 0} 32 x - 8$

Этап 3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{1}{- 10} (lim_{x \to 0} 32 x - lim_{x \to 0} 8)$

Этап 3.2

Вынесем член $32$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{- 10} (32 lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 8)$

Этап 3.3

Найдем предел $8$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{1}{- 10} (32 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 8)$

Этап 4

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{- 10} (32 \cdot 0 - 1 \cdot 8)$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{10} (32 \cdot 0 - 1 \cdot 8)$

Этап 5.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Умножим $32$ на $0$ .

$- \frac{1}{10} (0 - 1 \cdot 8)$

Этап 5.2.2

Умножим $- 1$ на $8$ .

$- \frac{1}{10} (0 - 8)$

Этап 5.3

Вычтем $8$ из $0$ .

$- \frac{1}{10} \cdot - 8$

Этап 5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{10}$ в числитель.

$\frac{- 1}{10} \cdot - 8$

Этап 5.4.2

Вынесем множитель $2$ из $10$ .

$\frac{- 1}{2 (5)} \cdot - 8$

Этап 5.4.3

Вынесем множитель $2$ из $- 8$ .

$\frac{- 1}{2 \cdot 5} \cdot (2 \cdot - 4)$

Этап 5.4.4

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{2 \cdot 5} \cdot (2 \cdot - 4)$

Этап 5.4.5

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1}{5} \cdot - 4$

Этап 5.5

Объединим $\frac{- 1}{5}$ и $- 4$ .

$\frac{- - 4}{5}$

Этап 5.6

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$\frac{4}{5}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{4}{5}$

Десятичная форма:

$0.8$