Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{1} x^{2} \cdot \sqrt{x^{3} + 2} d x$

Этап 1

Пусть $u = x^{3} + 2$ . Тогда $d u = 3 x^{2} d x$ , следовательно $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = x^{3} + 2$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $x^{3} + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} + 2]$

Этап 1.1.2

По правилу суммы производная $x^{3} + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 1.1.4

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Этап 1.1.5

Добавим $3 x^{2}$ и $0$ .

$3 x^{2}$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = x^{3} + 2$ .

$u_{lower} = 0^{3} + 2$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$u_{lower} = 0 + 2$

Этап 1.3.2

Добавим $0$ и $2$ .

$u_{lower} = 2$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = x^{3} + 2$ .

$u_{upper} = 1^{3} + 2$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Единица в любой степени равна единице.

$u_{upper} = 1 + 2$

Этап 1.5.2

Добавим $1$ и $2$ .

$u_{upper} = 3$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 3$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{2}^{3} \sqrt{u} \frac{1}{3} d u$

Этап 2

Объединим $\sqrt{u}$ и $\frac{1}{3}$ .

$\int_{2}^{3} \frac{\sqrt{u}}{3} d u$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} \int_{2}^{3} \sqrt{u} d u$

Этап 4

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} \int_{2}^{3} u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 5

По правилу степени интеграл $u^{\frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{3} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{2}^{3}$

Этап 6

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем значение $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ в $3$ и в $2$ .

$\frac{1}{3} ((\frac{2}{3} \cdot 3^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Объединим $\frac{2}{3}$ и $3^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.2.2

Перенесем $3^{1}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{1}{3} (2 \cdot 3^{\frac{3}{2}} \cdot 3^{- 1} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.2.3

Умножим $3^{\frac{3}{2}}$ на $3^{- 1}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Перенесем $3^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} (2 \cdot (3^{- 1} \cdot 3^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.2.3.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{3} (2 \cdot 3^{- 1 + \frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.2.3.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} (2 \cdot 3^{- 1 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.2.3.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} (2 \cdot 3^{\frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.2.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{3} (2 \cdot 3^{\frac{- 1 \cdot 2 + 3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.2.3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{3} (2 \cdot 3^{\frac{- 2 + 3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.2.3.6.2

Добавим $- 2$ и $3$ .

$\frac{1}{3} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.2.4

Объединим $2^{\frac{3}{2}}$ и $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{3} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3})$

Этап 6.2.5

Умножим $2^{\frac{3}{2}}$ на $2$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.5.1

Умножим $2^{\frac{3}{2}}$ на $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.5.1.1

Возведем $2$ в степень $1$ .

$\frac{1}{3} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2^{\frac{3}{2}} \cdot 2^{1}}{3})$

Этап 6.2.5.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{3} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2^{\frac{3}{2} + 1}}{3})$

Этап 6.2.5.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{1}{3} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2^{\frac{3}{2} + \frac{2}{2}}}{3})$

Этап 6.2.5.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{3} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2^{\frac{3 + 2}{2}}}{3})$

Этап 6.2.5.4

Добавим $3$ и $2$ .

$\frac{1}{3} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2^{\frac{5}{2}}}{3})$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{3} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{3} (- \frac{2^{\frac{5}{2}}}{3})$

Этап 7.2

Умножим $\frac{1}{3} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{2}{3} \cdot 3^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{3} (- \frac{2^{\frac{5}{2}}}{3})$

Этап 7.2.2

Объединим $\frac{2}{3}$ и $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{3} + \frac{1}{3} (- \frac{2^{\frac{5}{2}}}{3})$

Этап 7.3

Умножим $\frac{1}{3} (- \frac{2^{\frac{5}{2}}}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{3} - \frac{2^{\frac{5}{2}}}{3 \cdot 3}$

Этап 7.3.2

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{3} - \frac{2^{\frac{5}{2}}}{9}$

Этап 7.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Перенесем $3^{\frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{2}{3 \cdot 3^{- \frac{1}{2}}} - \frac{2^{\frac{5}{2}}}{9}$

Этап 7.4.2

Умножим $3$ на $3^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1

Умножим $3$ на $3^{- \frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1.1

Возведем $3$ в степень $1$ .

$\frac{2}{3^{1} \cdot 3^{- \frac{1}{2}}} - \frac{2^{\frac{5}{2}}}{9}$

Этап 7.4.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2}{3^{1 - \frac{1}{2}}} - \frac{2^{\frac{5}{2}}}{9}$

Этап 7.4.2.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{2}{3^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} - \frac{2^{\frac{5}{2}}}{9}$

Этап 7.4.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2}{3^{\frac{2 - 1}{2}}} - \frac{2^{\frac{5}{2}}}{9}$

Этап 7.4.2.4

Вычтем $1$ из $2$ .

$\frac{2}{3^{\frac{1}{2}}} - \frac{2^{\frac{5}{2}}}{9}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{2}{3^{\frac{1}{2}}} - \frac{2^{\frac{5}{2}}}{9}$

Десятичная форма:

$0.52616117 \dots$

Этап 9