Математический анализ Примеры

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (x)}{3 + \sin (x)} d x$

Этап 1

Пусть $u = 3 + \sin (x)$ . Тогда $d u = \cos (x) d x$ , следовательно $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = 3 + \sin (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $3 + \sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [3 + \sin (x)]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

По правилу суммы производная $3 + \sin (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 1.1.2.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 1.1.3

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$0 + \cos (x)$

Этап 1.1.4

Добавим $0$ и $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = 3 + \sin (x)$ .

$u_{lower} = 3 + \sin (\frac{π}{6})$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Точное значение $\sin (\frac{π}{6})$ : $\frac{1}{2}$ .

$u_{lower} = 3 + \frac{1}{2}$

Этап 1.3.2

Чтобы записать $3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$u_{lower} = 3 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

Этап 1.3.3

Объединим $3$ и $\frac{2}{2}$ .

$u_{lower} = \frac{3 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}$

Этап 1.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$u_{lower} = \frac{3 \cdot 2 + 1}{2}$

Этап 1.3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.1

Умножим $3$ на $2$ .

$u_{lower} = \frac{6 + 1}{2}$

Этап 1.3.5.2

Добавим $6$ и $1$ .

$u_{lower} = \frac{7}{2}$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = 3 + \sin (x)$ .

$u_{upper} = 3 + \sin (\frac{π}{2})$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$u_{upper} = 3 + 1$

Этап 1.5.2

Добавим $3$ и $1$ .

$u_{upper} = 4$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = \frac{7}{2}$

$u_{upper} = 4$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{\frac{7}{2}}^{4} \frac{1}{u} d u$

Этап 2

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |)]_{\frac{7}{2}}^{4}$

Этап 3

Найдем значение $\ln (| u |)$ в $4$ и в $\frac{7}{2}$ .

$\ln (| 4 |) - \ln (| \frac{7}{2} |)$

Этап 4

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 4 |}{| \frac{7}{2} |})$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $4$ равно $4$ .

$\ln (\frac{4}{| \frac{7}{2} |})$

Этап 5.2

$\frac{7}{2}$ приблизительно равно $3.5$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\ln (\frac{4}{\frac{7}{2}})$

Этап 5.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\ln (4 (\frac{2}{7}))$

Этап 5.4

Умножим $4 (\frac{2}{7})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Объединим $4$ и $\frac{2}{7}$ .

$\ln (\frac{4 \cdot 2}{7})$

Этап 5.4.2

Умножим $4$ на $2$ .

$\ln (\frac{8}{7})$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\ln (\frac{8}{7})$

Десятичная форма:

$0.13353139 \dots$