Математический анализ Примеры

$x^{2} + \frac{1}{x} + x y + \frac{1}{y} + y^{2}$

Этап 1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $x^{2} + \frac{1}{x} + x y + \frac{1}{y} + y^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$2 x - x^{- 2} + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $y$ является константой относительно $x$ , производная $x y$ по $x$ равна $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - x^{- 2} + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 x - x^{- 2} + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 3.3

Умножим $y$ на $1$ .

$2 x - x^{- 2} + y + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $\frac{1}{y}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{1}{y}$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 x - x^{- 2} + y + 0 + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 4.2

Поскольку $y^{2}$ является константой относительно $x$ , производная $y^{2}$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 x - x^{- 2} + y + 0 + 0$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 x - \frac{1}{x^{2}} + y + 0 + 0$

Этап 5.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Добавим $2 x - \frac{1}{x^{2}} + y$ и $0$ .

$2 x - \frac{1}{x^{2}} + y + 0$

Этап 5.2.2

Добавим $2 x - \frac{1}{x^{2}} + y$ и $0$ .

$2 x - \frac{1}{x^{2}} + y$

Этап 5.3

Изменим порядок членов.

$2 x + y - \frac{1}{x^{2}}$