Математический анализ Примеры

$\int_{- 3}^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + x + 6) d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int_{- 3}^{2} \frac{1}{2} x^{2} + x + 6 d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- 3}^{2} \frac{1}{2} x^{2} d x + \int_{- 3}^{2} x d x + \int_{- 3}^{2} 6 d x$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int_{- 3}^{2} x^{2} d x + \int_{- 3}^{2} x d x + \int_{- 3}^{2} 6 d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{2} + \int_{- 3}^{2} x d x + \int_{- 3}^{2} 6 d x$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{2} + \frac{1}{2} x^{2}]_{- 3}^{2} + \int_{- 3}^{2} 6 d x$

Этап 6

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{2} \frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{2} + \frac{1}{2} x^{2}]_{- 3}^{2} + 6 x]_{- 3}^{2}$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим $\frac{1}{2} x^{2}]_{- 3}^{2}$ и $6 x]_{- 3}^{2}$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{2} + \frac{1}{2} x^{2} + 6 x]_{- 3}^{2}$

Этап 7.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Найдем значение $\frac{1}{3} x^{3}$ в $2$ и в $- 3$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{1}{3} \cdot 2^{3}) - \frac{1}{3} {(- 3)}^{3}) + \frac{1}{2} x^{2} + 6 x]_{- 3}^{2}$

Этап 7.2.2

Найдем значение $\frac{1}{2} x^{2} + 6 x$ в $2$ и в $- 3$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{1}{3} \cdot 2^{3}) - \frac{1}{3} {(- 3)}^{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Этап 7.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Возведем $2$ в степень $3$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 8 - \frac{1}{3} {(- 3)}^{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Этап 7.2.3.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $8$ .

$\frac{1}{2} (\frac{8}{3} - \frac{1}{3} {(- 3)}^{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Этап 7.2.3.3

Возведем $- 3$ в степень $3$ .

$\frac{1}{2} (\frac{8}{3} - \frac{1}{3} \cdot - 27) + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Этап 7.2.3.4

Умножим $- 27$ на $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{8}{3} + 27 (\frac{1}{3})) + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Этап 7.2.3.5

Объединим $27$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{8}{3} + \frac{27}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Этап 7.2.3.6

Сократим общий множитель $27$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.6.1

Вынесем множитель $3$ из $27$ .

$\frac{1}{2} (\frac{8}{3} + \frac{3 \cdot 9}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Этап 7.2.3.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.6.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{1}{2} (\frac{8}{3} + \frac{3 \cdot 9}{3 (1)}) + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Этап 7.2.3.6.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} (\frac{8}{3} + \frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1}) + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Этап 7.2.3.6.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} (\frac{8}{3} + \frac{9}{1}) + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Этап 7.2.3.6.2.4

Разделим $9$ на $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{8}{3} + 9) + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Этап 7.2.3.7

Чтобы записать $9$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{8}{3} + 9 \cdot \frac{3}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Этап 7.2.3.8

Объединим $9$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{8}{3} + \frac{9 \cdot 3}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Этап 7.2.3.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{8 + 9 \cdot 3}{3} + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Этап 7.2.3.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.10.1

Умножим $9$ на $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{8 + 27}{3} + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Этап 7.2.3.10.2

Добавим $8$ и $27$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{35}{3} + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Этап 7.2.3.11

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{35}{3}$ .

$\frac{35}{2 \cdot 3} + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Этап 7.2.3.12

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{35}{6} + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Этап 7.2.3.13

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{35}{6} + \frac{1}{2} \cdot 4 + 6 \cdot 2 - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Этап 7.2.3.14

Объединим $\frac{1}{2}$ и $4$ .

$\frac{35}{6} + \frac{4}{2} + 6 \cdot 2 - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Этап 7.2.3.15

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.15.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{35}{6} + \frac{2 \cdot 2}{2} + 6 \cdot 2 - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Этап 7.2.3.15.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.15.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{35}{6} + \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} + 6 \cdot 2 - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Этап 7.2.3.15.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{35}{6} + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} + 6 \cdot 2 - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Этап 7.2.3.15.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{35}{6} + \frac{2}{1} + 6 \cdot 2 - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Этап 7.2.3.15.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$\frac{35}{6} + 2 + 6 \cdot 2 - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Этап 7.2.3.16

Умножим $6$ на $2$ .

$\frac{35}{6} + 2 + 12 - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Этап 7.2.3.17

Добавим $2$ и $12$ .

$\frac{35}{6} + 14 - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Этап 7.2.3.18

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$\frac{35}{6} + 14 - (\frac{1}{2} \cdot 9 + 6 \cdot - 3)$

Этап 7.2.3.19

Объединим $\frac{1}{2}$ и $9$ .

$\frac{35}{6} + 14 - (\frac{9}{2} + 6 \cdot - 3)$

Этап 7.2.3.20

Умножим $6$ на $- 3$ .

$\frac{35}{6} + 14 - (\frac{9}{2} - 18)$

Этап 7.2.3.21

Чтобы записать $- 18$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{35}{6} + 14 - (\frac{9}{2} - 18 \cdot \frac{2}{2})$

Этап 7.2.3.22

Объединим $- 18$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{35}{6} + 14 - (\frac{9}{2} + \frac{- 18 \cdot 2}{2})$

Этап 7.2.3.23

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{35}{6} + 14 - \frac{9 - 18 \cdot 2}{2}$

Этап 7.2.3.24

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.24.1

Умножим $- 18$ на $2$ .

$\frac{35}{6} + 14 - \frac{9 - 36}{2}$

Этап 7.2.3.24.2

Вычтем $36$ из $9$ .

$\frac{35}{6} + 14 - \frac{- 27}{2}$

Этап 7.2.3.25

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{35}{6} + 14 - - \frac{27}{2}$

Этап 7.2.3.26

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{35}{6} + 14 + 1 (\frac{27}{2})$

Этап 7.2.3.27

Умножим $\frac{27}{2}$ на $1$ .

$\frac{35}{6} + 14 + \frac{27}{2}$

Этап 7.2.3.28

Чтобы записать $14$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{35}{6} + 14 \cdot \frac{2}{2} + \frac{27}{2}$

Этап 7.2.3.29

Объединим $14$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{35}{6} + \frac{14 \cdot 2}{2} + \frac{27}{2}$

Этап 7.2.3.30

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{35}{6} + \frac{14 \cdot 2 + 27}{2}$

Этап 7.2.3.31

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.31.1

Умножим $14$ на $2$ .

$\frac{35}{6} + \frac{28 + 27}{2}$

Этап 7.2.3.31.2

Добавим $28$ и $27$ .

$\frac{35}{6} + \frac{55}{2}$

Этап 7.2.3.32

Чтобы записать $\frac{55}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{35}{6} + \frac{55}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 7.2.3.33

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $6$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.33.1

Умножим $\frac{55}{2}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{35}{6} + \frac{55 \cdot 3}{2 \cdot 3}$

Этап 7.2.3.33.2

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{35}{6} + \frac{55 \cdot 3}{6}$

Этап 7.2.3.34

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{35 + 55 \cdot 3}{6}$

Этап 7.2.3.35

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.35.1

Умножим $55$ на $3$ .

$\frac{35 + 165}{6}$

Этап 7.2.3.35.2

Добавим $35$ и $165$ .

$\frac{200}{6}$

Этап 7.2.3.36

Сократим общий множитель $200$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.36.1

Вынесем множитель $2$ из $200$ .

$\frac{2 (100)}{6}$

Этап 7.2.3.36.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.36.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{2 \cdot 100}{2 \cdot 3}$

Этап 7.2.3.36.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 100}{2 \cdot 3}$

Этап 7.2.3.36.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{100}{3}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{100}{3}$

Десятичная форма:

$33.\overline{3}$

Форма смешанных чисел:

$33 \frac{1}{3}$

Этап 9