Математический анализ Примеры

$x^{\frac{4}{3}} + 4 x^{\frac{1}{3}}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $x^{\frac{4}{3}} + 4 x^{\frac{1}{3}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}] + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}] + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{3}}]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{4}{3}$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{3}}]$

Этап 1.2.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{3}}]$

Этап 1.2.3

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{3}}]$

Этап 1.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{3}}]$

Этап 1.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{3}}]$

Этап 1.2.5.2

Вычтем $3$ из $4$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{3}}]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{3}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{\frac{1}{3}}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + 4 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Этап 1.3.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + 4 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Этап 1.3.4

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + 4 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Этап 1.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + 4 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Этап 1.3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + 4 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Этап 1.3.6.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + 4 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Этап 1.3.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + 4 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Этап 1.3.8

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + 4 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Этап 1.3.9

Объединим $4$ и $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{4 x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Этап 1.3.10

Перенесем $x^{- \frac{2}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 1.4

Объединим $\frac{4}{3}$ и $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $\frac{4}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}$ по $x$ равна $\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$

Этап 2.2.2

$\frac{4}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$

Этап 2.2.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$

Этап 2.2.4

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$

Этап 2.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{4}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$

Этап 2.2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{4}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$

Этап 2.2.6.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$\frac{4}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$

Этап 2.2.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{4}{3} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$

Этап 2.2.8

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$

Этап 2.2.9

Умножим $\frac{4}{3}$ на $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$\frac{4 x^{- \frac{2}{3}}}{3 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$

Этап 2.2.10

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{4 x^{- \frac{2}{3}}}{9} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$

Этап 2.2.11

Перенесем $x^{- \frac{2}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $\frac{4}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ по $x$ равна $\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$

Этап 2.3.2

Перепишем $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ в виде ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}]$

Этап 2.3.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x^{\frac{2}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}])$

Этап 2.3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}])$

Этап 2.3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}])$

Этап 2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Этап 2.3.5

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- x^{\frac{2}{3} \cdot - 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Этап 2.3.5.2

Умножим $\frac{2}{3} \cdot - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.2.1

Объединим $\frac{2}{3}$ и $- 2$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- x^{\frac{2 \cdot - 2}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Этап 2.3.5.2.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- x^{\frac{- 4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Этап 2.3.5.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Этап 2.3.6

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}))$

Этап 2.3.7

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}))$

Этап 2.3.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}))$

Этап 2.3.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.9.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}))$

Этап 2.3.9.2

Вычтем $3$ из $2$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}))$

Этап 2.3.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}))$

Этап 2.3.11

Объединим $\frac{2}{3}$ и $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- x^{- \frac{4}{3}} \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3})$

Этап 2.3.12

Объединим $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ и $x^{- \frac{4}{3}}$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- \frac{2 x^{- \frac{1}{3}} x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

Этап 2.3.13

Умножим $x^{- \frac{1}{3}}$ на $x^{- \frac{4}{3}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.13.1

Перенесем $x^{- \frac{4}{3}}$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- \frac{2 (x^{- \frac{4}{3}} x^{- \frac{1}{3}})}{3})$

Этап 2.3.13.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- \frac{2 x^{- \frac{4}{3} - \frac{1}{3}}}{3})$

Этап 2.3.13.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- \frac{2 x^{\frac{- 4 - 1}{3}}}{3})$

Этап 2.3.13.4

Вычтем $1$ из $- 4$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- \frac{2 x^{\frac{- 5}{3}}}{3})$

Этап 2.3.13.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- \frac{2 x^{- \frac{5}{3}}}{3})$

Этап 2.3.14

Перенесем $x^{- \frac{5}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}})$

Этап 2.3.15

Умножим $\frac{4}{3}$ на $\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4 \cdot 2}{3 (3 x^{\frac{5}{3}})}$

Этап 2.3.16

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{8}{3 (3 x^{\frac{5}{3}})}$

Этап 2.3.17

Умножим $3$ на $3$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}}$