Математический анализ Примеры

$lim_{x \to - \infty} \frac{x}{2 x - 3}$

Этап 1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to - \infty} x}{lim_{x \to - \infty} 2 x - 3}$

Этап 1.2

Для многочлена нечетной степени, старший коэффициент которого положителен, предел в минус бесконечности равен минус бесконечности.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to - \infty} 2 x - 3}$

Этап 1.3

$\frac{- \infty}{- \infty}$

Этап 1.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$\frac{- \infty}{- \infty}$

Этап 2

Поскольку $\frac{- \infty}{- \infty}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to - \infty} \frac{x}{2 x - 3} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [2 x - 3]}$

Этап 3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [2 x - 3]}$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [2 x - 3]}$

Этап 3.3

По правилу суммы производная $2 x - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Этап 3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Этап 3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Этап 3.4.3

Умножим $2$ на $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{2 + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Этап 3.5

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{2 + 0}$

Этап 3.6

Добавим $2$ и $0$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{2}$

Этап 4

Найдем предел $\frac{1}{2}$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- \infty$ .

$\frac{1}{2}$