Математический анализ Примеры

$e^{x} \cdot x$

Этап 1

Запишем $e^{x} \cdot x$ в виде функции.

$f (x) = e^{x} \cdot x$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int e^{x} \cdot x d x$

Этап 4

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = e^{x}$ .

$x e^{x} - \int e^{x} d x$

Этап 5

Интеграл $e^{x}$ по $x$ имеет вид $e^{x}$ .

$x e^{x} - (e^{x} + C)$

Этап 6

Упростим.

$x e^{x} - e^{x} + C$

Этап 7

Ответ ― первообразная функции $f (x) = e^{x} \cdot x$ .

$F (x) =$ $x e^{x} - e^{x} + C$