Математический анализ Примеры

$f (x) = \sqrt{8 x}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $\frac{d}{d x} [\sqrt{8 x}]$ в виде $\frac{d}{d x} [2 \sqrt{2 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Перепишем $8 x$ в виде $2^{2} \cdot (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{4 (2) x}]$

Этап 1.1.1.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{2^{2} \cdot 2 x}]$

Этап 1.1.1.3

Добавим круглые скобки.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{2^{2} \cdot (2 x)}]$

Этап 1.1.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{d}{d x} [2 \sqrt{2 x}]$

Этап 1.2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 x}$ в виде ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [2 {(2 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 {(2 (x))}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 1.4

Применим правило умножения к $2 (x)$ .

$\frac{d}{d x} [2 (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})]$

Этап 1.5

Возведем $2$ в степень $1$ .

$\frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{1} x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 1.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{2} + 1} x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 1.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 1.7.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d}{d x} [2^{\frac{1 + 2}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 1.7.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{d}{d x} [2^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 1.8

Поскольку $2^{\frac{3}{2}}$ является константой относительно $x$ , производная $2^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ равна $2^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$2^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 1.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$2^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Этап 1.10

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$2^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Этап 1.11

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$2^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 1.12

Объединим числители над общим знаменателем.

$2^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 1.13

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.13.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$2^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Этап 1.13.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$2^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Этап 1.14

Вынесем знак минуса перед дробью.

$2^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Этап 1.15

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2^{\frac{3}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Этап 1.16

Объединим $2^{\frac{3}{2}}$ и $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2^{\frac{3}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Этап 1.17

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.17.1

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2^{\frac{3}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.17.2

Перенесем $2^{1}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{2^{\frac{3}{2}} \cdot 2^{- 1}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.18

Умножим $2^{\frac{3}{2}}$ на $2^{- 1}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.18.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2^{\frac{3}{2} - 1}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.18.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.18.3

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.18.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.18.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.18.5.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{2^{\frac{3 - 2}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.18.5.2

Вычтем $2$ из $3$ .

$f' (x) = \frac{2^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $2^{\frac{1}{2}}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{2^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ по $x$ равна $2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 2.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перепишем $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ в виде ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Этап 2.2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Этап 2.2.2.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{2}}]$

Этап 2.2.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - \frac{1}{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1})$

Этап 2.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Этап 2.5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 2.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$2^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 2.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$2^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}})$

Этап 2.7.2

Вычтем $2$ из $- 1$ .

$2^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}})$

Этап 2.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$2^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}})$

Этап 2.9

Объединим $x^{- \frac{3}{2}}$ и $\frac{1}{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

Этап 2.10

Объединим $2^{\frac{1}{2}}$ и $\frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$ .

$- \frac{2^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}}{2}$

Этап 2.11

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Перенесем $2^{\frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}}}$

Этап 2.11.2

Перенесем $x^{- \frac{3}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.12

Умножим $2$ на $2^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.1

Умножим $2$ на $2^{- \frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.1.1

Возведем $2$ в степень $1$ .

$- \frac{1}{2^{1} \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.12.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{1}{2^{1 - \frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.12.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$- \frac{1}{2^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.12.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{1}{2^{\frac{2 - 1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.12.4

Вычтем $1$ из $2$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}$ .

$- \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}$