Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{\sqrt{4 - x^{2}}} d x$

Этап 1

Пусть $x = 2 \sin (t)$ , где $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Тогда $d x = 2 \cos (t) d t$ . Заметим, что поскольку $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , выражение $2 \cos (t)$ положительно.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{4 - {(2 \sin (t))}^{2}}} (2 \cos (t)) d t$

Этап 2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим $\sqrt{4 - {(2 \sin (t))}^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Применим правило умножения к $2 \sin (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{4 - (2^{2} \sin^{2} (t))}} (2 \cos (t)) d t$

Этап 2.1.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{4 - (4 \sin^{2} (t))}} (2 \cos (t)) d t$

Этап 2.1.1.3

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{4 - 4 \sin^{2} (t)}} (2 \cos (t)) d t$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{4 (1) - 4 \sin^{2} (t)}} (2 \cos (t)) d t$

Этап 2.1.3

Вынесем множитель $4$ из $- 4 \sin^{2} (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))}} (2 \cos (t)) d t$

Этап 2.1.4

Вынесем множитель $4$ из $4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{4 (1 - \sin^{2} (t))}} (2 \cos (t)) d t$

Этап 2.1.5

Применим формулу Пифагора.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{4 \cos^{2} (t)}} (2 \cos (t)) d t$

Этап 2.1.6

Перепишем $4 \cos^{2} (t)$ в виде ${(2 \cos (t))}^{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(2 \cos (t))}^{2}}} (2 \cos (t)) d t$

Этап 2.1.7

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{2 \cos (t)} (2 \cos (t)) d t$

Этап 2.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель $2 \cos (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{2 \cos (t)} (2 \cos (t)) d t$

Этап 2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(2 \sin (t))}^{2} d t$

Этап 2.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \sin (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(2 (\sin (t)))}^{2} d t$

Этап 2.2.2.2

Применим правило умножения к $2 (\sin (t))$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} 2^{2} \sin^{2} (t) d t$

Этап 2.2.2.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} 4 \sin^{2} (t) d t$

Этап 3

Поскольку $4$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$4 \int_{0}^{\frac{π}{6}} \sin^{2} (t) d t$

Этап 4

Используем формулу половинного угла для записи $\sin^{2} (t)$ в виде $\frac{1 - \cos (2 t)}{2}$ .

$4 \int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{1 - \cos (2 t)}{2} d t$

Этап 5

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$4 (\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{6}} 1 - \cos (2 t) d t)$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $4$ .

$\frac{4}{2} \int_{0}^{\frac{π}{6}} 1 - \cos (2 t) d t$

Этап 6.2

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} \int_{0}^{\frac{π}{6}} 1 - \cos (2 t) d t$

Этап 6.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int_{0}^{\frac{π}{6}} 1 - \cos (2 t) d t$

Этап 6.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int_{0}^{\frac{π}{6}} 1 - \cos (2 t) d t$

Этап 6.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{1} \int_{0}^{\frac{π}{6}} 1 - \cos (2 t) d t$

Этап 6.2.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$2 \int_{0}^{\frac{π}{6}} 1 - \cos (2 t) d t$

Этап 7

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$2 (\int_{0}^{\frac{π}{6}} d t + \int_{0}^{\frac{π}{6}} - \cos (2 t) d t)$

Этап 8

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$2 (t]_{0}^{\frac{π}{6}} + \int_{0}^{\frac{π}{6}} - \cos (2 t) d t)$

Этап 9

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$2 (t]_{0}^{\frac{π}{6}} - \int_{0}^{\frac{π}{6}} \cos (2 t) d t)$

Этап 10

Пусть $u = 2 t$ . Тогда $d u = 2 d t$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d t$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Пусть $u = 2 t$ . Найдем $\frac{d u}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Дифференцируем $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Этап 10.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $t$ , производная $2 t$ по $t$ равна $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Этап 10.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 10.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 10.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $t$ в $u = 2 t$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Этап 10.3

Умножим $2$ на $0$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 10.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $t$ в $u = 2 t$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{6}$

Этап 10.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 (3)}$

Этап 10.5.2

Сократим общий множитель.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 \cdot 3}$

Этап 10.5.3

Перепишем это выражение.

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

Этап 10.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

Этап 10.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$2 (t]_{0}^{\frac{π}{6}} - \int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Этап 11

Объединим $\cos (u)$ и $\frac{1}{2}$ .

$2 (t]_{0}^{\frac{π}{6}} - \int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Этап 12

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$2 (t]_{0}^{\frac{π}{6}} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos (u) d u))$

Этап 13

Интеграл $\cos (u)$ по $u$ имеет вид $\sin (u)$ .

$2 (t]_{0}^{\frac{π}{6}} - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{\frac{π}{3}})$

Этап 14

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Найдем значение $t$ в $\frac{π}{6}$ и в $0$ .

$2 ((\frac{π}{6}) + 0 - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{\frac{π}{3}})$

Этап 14.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Найдем значение $\sin (u)$ в $\frac{π}{3}$ и в $0$ .

$2 ((\frac{π}{6}) + 0 - \frac{1}{2} ((\sin (\frac{π}{3})) - \sin (0)))$

Этап 14.2.2

Добавим $\frac{π}{6}$ и $0$ .

$2 (\frac{π}{6} - \frac{1}{2} ((\sin (\frac{π}{3})) - \sin (0)))$

Этап 14.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.1

Точное значение $\sin (\frac{π}{3})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$2 (\frac{π}{6} - \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin (0)))$

Этап 14.3.2

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$2 (\frac{π}{6} - \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} - 0))$

Этап 14.3.3

Умножим $- 1$ на $0$ .

$2 (\frac{π}{6} - \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} + 0))$

Этап 14.3.4

Добавим $\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $0$ .

$2 (\frac{π}{6} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2})$

Этап 14.3.5

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$2 (\frac{π}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 2})$

Этап 14.3.6

Умножим $2$ на $2$ .

$2 (\frac{π}{6} - \frac{\sqrt{3}}{4})$

Этап 14.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 \frac{π}{6} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{4})$

Этап 14.4.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$2 \frac{π}{2 (3)} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{4})$

Этап 14.4.2.2

Сократим общий множитель.

$2 \frac{π}{2 \cdot 3} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{4})$

Этап 14.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{π}{3} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{4})$

Этап 14.4.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\sqrt{3}}{4}$ в числитель.

$\frac{π}{3} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{4}$

Этап 14.4.3.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{π}{3} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2 (2)}$

Этап 14.4.3.3

Сократим общий множитель.

$\frac{π}{3} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Этап 14.4.3.4

Перепишем это выражение.

$\frac{π}{3} + \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Этап 14.4.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{π}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 15

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{π}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Десятичная форма:

$0.18117214 \dots$