Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{3} \frac{{(1 + \ln (x))}^{3}}{x} d x$

Этап 1

Пусть $u = 1 + \ln (x)$ . Тогда $d u = \frac{1}{x} d x$ , следовательно $x d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = 1 + \ln (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $1 + \ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [1 + \ln (x)]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

По правилу суммы производная $1 + \ln (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Этап 1.1.2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Этап 1.1.3

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$0 + \frac{1}{x}$

Этап 1.1.4

Добавим $0$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = 1 + \ln (x)$ .

$u_{lower} = 1 + \ln (1)$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Этап 1.3.2

Добавим $1$ и $0$ .

$u_{lower} = 1$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = 1 + \ln (x)$ .

$u_{upper} = 1 + \ln (3)$

Этап 1.5

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 1 + \ln (3)$

Этап 1.6

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{1}^{1 + \ln (3)} u^{3} d u$

Этап 2

По правилу степени интеграл $u^{3}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{4} u^{4}]_{1}^{1 + \ln (3)}$

Этап 3

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем значение $\frac{1}{4} u^{4}$ в $1 + \ln (3)$ и в $1$ .

$(\frac{1}{4} {(1 + \ln (3))}^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 1^{4}$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и ${(1 + \ln (3))}^{4}$ .

$\frac{{(1 + \ln (3))}^{4}}{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4}$

Этап 3.2.2

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{{(1 + \ln (3))}^{4}}{4} - \frac{1}{4} \cdot 1$

Этап 3.2.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{{(1 + \ln (3))}^{4}}{4} - \frac{1}{4}$

Этап 3.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{{(1 + \ln (3))}^{4} - 1}{4}$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{{(1 + \ln (3))}^{4} - 1}{4}$

Десятичная форма:

$4.59918613 \dots$