Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 x}{4 - {(2 + x)}^{2}}$

Этап 1

Вынесем член $- 2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{x}{4 - {(2 + x)}^{2}}$

Этап 2

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$- 2 \frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} 4 - {(2 + x)}^{2}}$

Этап 2.1.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$- 2 \frac{0}{lim_{x \to 0} 4 - {(2 + x)}^{2}}$

Этап 2.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$- 2 \frac{0}{lim_{x \to 0} 4 - lim_{x \to 0} {(2 + x)}^{2}}$

Этап 2.1.3.1.2

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$- 2 \frac{0}{4 - lim_{x \to 0} {(2 + x)}^{2}}$

Этап 2.1.3.1.3

Вынесем степень $2$ в выражении ${(2 + x)}^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$- 2 \frac{0}{4 - {(lim_{x \to 0} 2 + x)}^{2}}$

Этап 2.1.3.1.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$- 2 \frac{0}{4 - {(lim_{x \to 0} 2 + lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Этап 2.1.3.1.5

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$- 2 \frac{0}{4 - {(2 + lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Этап 2.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$- 2 \frac{0}{4 - {(2 + 0)}^{2}}$

Этап 2.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.3.1.1

Добавим $2$ и $0$ .

$- 2 \frac{0}{4 - 2^{2}}$

Этап 2.1.3.3.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$- 2 \frac{0}{4 - 1 \cdot 4}$

Этап 2.1.3.3.1.3

Умножим $- 1$ на $4$ .

$- 2 \frac{0}{4 - 4}$

Этап 2.1.3.3.2

Вычтем $4$ из $4$ .

$- 2 (\frac{0}{0})$

Этап 2.1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$- 2 (\frac{0}{0})$

Этап 2.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$- 2 (\frac{0}{0})$

Этап 2.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$- 2 (\frac{0}{0})$

Этап 2.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{x}{4 - {(2 + x)}^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [4 - {(2 + x)}^{2}]}$

Этап 2.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [4 - {(2 + x)}^{2}]}$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [4 - {(2 + x)}^{2}]}$

Этап 2.3.3

Перепишем ${(2 + x)}^{2}$ в виде $(2 + x) (2 + x)$ .

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [4 - (2 + x) (2 + x)]}$

Этап 2.3.4

Развернем $(2 + x) (2 + x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [4 - (2 (2 + x) + x (2 + x))]}$

Этап 2.3.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [4 - (2 \cdot 2 + 2 x + x (2 + x))]}$

Этап 2.3.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [4 - (2 \cdot 2 + 2 x + x \cdot 2 + x \cdot x)]}$

Этап 2.3.5

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1.1

Умножим $2$ на $2$ .

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [4 - (4 + 2 x + x \cdot 2 + x \cdot x)]}$

Этап 2.3.5.1.2

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [4 - (4 + 2 x + 2 \cdot x + x \cdot x)]}$

Этап 2.3.5.1.3

Умножим $x$ на $x$ .

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [4 - (4 + 2 x + 2 x + x^{2})]}$

Этап 2.3.5.2

Добавим $2 x$ и $2 x$ .

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [4 - (4 + 4 x + x^{2})]}$

Этап 2.3.6

По правилу суммы производная $4 - (4 + 4 x + x^{2})$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- (4 + 4 x + x^{2})]$ .

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- (4 + 4 x + x^{2})]}$

Этап 2.3.7

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{0 + \frac{d}{d x} [- (4 + 4 x + x^{2})]}$

Этап 2.3.8

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- (4 + 4 x + x^{2})]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.8.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- (4 + 4 x + x^{2})$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [4 + 4 x + x^{2}]$ .

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - \frac{d}{d x} [4 + 4 x + x^{2}]}$

Этап 2.3.8.2

По правилу суммы производная $4 + 4 x + x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}$

Этап 2.3.8.3

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - (0 + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}$

Этап 2.3.8.4

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - (0 + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}$

Этап 2.3.8.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - (0 + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}])}$

Этап 2.3.8.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - (0 + 4 \cdot 1 + 2 x)}$

Этап 2.3.8.7

Умножим $4$ на $1$ .

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - (0 + 4 + 2 x)}$

Этап 2.3.8.8

Добавим $0$ и $4$ .

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - (4 + 2 x)}$

Этап 2.3.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - 1 \cdot 4 - 1 \cdot 2 x}$

Этап 2.3.9.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.9.2.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - 4 - 1 \cdot 2 x}$

Этап 2.3.9.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - 4 - 2 x}$

Этап 2.3.9.2.3

Вычтем $- (- 4 - 2 x)$ из $0$ .

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{- 4 - 2 x}$

Этап 2.3.9.3

Изменим порядок членов.

$- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{- 2 x - 4}$

Этап 3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$- 2 \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} - 2 x - 4}$

Этап 3.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$- 2 \frac{1}{lim_{x \to 0} - 2 x - 4}$

Этап 3.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$- 2 \frac{1}{- lim_{x \to 0} 2 x - lim_{x \to 0} 4}$

Этап 3.4

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$- 2 \frac{1}{- 2 lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 4}$

Этап 3.5

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$- 2 \frac{1}{- 2 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 4}$

Этап 4

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$- 2 \frac{1}{- 2 \cdot 0 - 1 \cdot 4}$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Умножим $- 2$ на $0$ .

$- 2 \frac{1}{0 - 1 \cdot 4}$

Этап 5.1.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$- 2 \frac{1}{0 - 4}$

Этап 5.1.3

Вычтем $4$ из $0$ .

$- 2 (\frac{1}{- 4})$

Этап 5.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{1}{- 4}$

Этап 5.2.2

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$2 \cdot - 1 \frac{1}{2 \cdot - 2}$

Этап 5.2.3

Сократим общий множитель.

$2 \cdot - 1 \frac{1}{2 \cdot - 2}$

Этап 5.2.4

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{- 2}$

Этап 5.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- - \frac{1}{2}$

Этап 5.4

Умножим $- - \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 (\frac{1}{2})$

Этап 5.4.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$\frac{1}{2}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{1}{2}$

Десятичная форма:

$0.5$