Математический анализ Примеры

$\frac{6}{x^{3}} - 4 e^{2 x} + 7$

Этап 1

Запишем $\frac{6}{x^{3}} - 4 e^{2 x} + 7$ в виде функции.

$f (x) = \frac{6}{x^{3}} - 4 e^{2 x} + 7$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{6}{x^{3}} - 4 e^{2 x} + 7 d x$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{6}{x^{3}} d x + \int - 4 e^{2 x} d x + \int 7 d x$

Этап 5

Поскольку $6$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $6$ из-под знака интеграла.

$6 \int \frac{1}{x^{3}} d x + \int - 4 e^{2 x} d x + \int 7 d x$

Этап 6

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем $x^{3}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$6 \int {(x^{3})}^{- 1} d x + \int - 4 e^{2 x} d x + \int 7 d x$

Этап 6.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \int x^{3 \cdot - 1} d x + \int - 4 e^{2 x} d x + \int 7 d x$

Этап 6.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$6 \int x^{- 3} d x + \int - 4 e^{2 x} d x + \int 7 d x$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{- 3}$ по $x$ имеет вид $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$6 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int - 4 e^{2 x} d x + \int 7 d x$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим $x^{- 2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$6 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C) + \int - 4 e^{2 x} d x + \int 7 d x$

Этап 8.2

Перенесем $x^{- 2}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int - 4 e^{2 x} d x + \int 7 d x$

Этап 9

Поскольку $- 4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 4$ из-под знака интеграла.

$6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 4 \int e^{2 x} d x + \int 7 d x$

Этап 10

Пусть $u = 2 x$ . Тогда $d u = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Пусть $u = 2 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Дифференцируем $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 10.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 10.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 10.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 10.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 4 \int e^{u} \frac{1}{2} d u + \int 7 d x$

Этап 11

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{2}$ .

$6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 4 \int \frac{e^{u}}{2} d u + \int 7 d x$

Этап 12

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 4 (\frac{1}{2} \int e^{u} d u) + \int 7 d x$

Этап 13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 4$ .

$6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \frac{- 4}{2} \int e^{u} d u + \int 7 d x$

Этап 13.2

Сократим общий множитель $- 4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \frac{2 \cdot - 2}{2} \int e^{u} d u + \int 7 d x$

Этап 13.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} \int e^{u} d u + \int 7 d x$

Этап 13.2.2.2

Сократим общий множитель.

$6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} \int e^{u} d u + \int 7 d x$

Этап 13.2.2.3

Перепишем это выражение.

$6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \frac{- 2}{1} \int e^{u} d u + \int 7 d x$

Этап 13.2.2.4

Разделим $- 2$ на $1$ .

$6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 2 \int e^{u} d u + \int 7 d x$

Этап 14

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 2 (e^{u} + C) + \int 7 d x$

Этап 15

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 2 (e^{u} + C) + 7 x + C$

Этап 16

Упростим.

$- \frac{3}{x^{2}} - 2 e^{u} + 7 x + C$

Этап 17

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$- \frac{3}{x^{2}} - 2 e^{2 x} + 7 x + C$

Этап 18

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{6}{x^{3}} - 4 e^{2 x} + 7$ .

$F (x) =$ $- \frac{3}{x^{2}} - 2 e^{2 x} + 7 x + C$