Математический анализ Примеры

$y = 3 x^{3} - x - 3$

Этап 1

Запишем $y = 3 x^{3} - x - 3$ в виде функции.

$f (x) = 3 x^{3} - x - 3$

Этап 2

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $3 x^{3} - x - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{3}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 2.2.3

Умножим $3$ на $3$ .

$9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 x^{2} - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$9 x^{2} - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 2.3.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$9 x^{2} - 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$9 x^{2} - 1 + 0$

Этап 2.4.2

Добавим $9 x^{2} - 1$ и $0$ .

$9 x^{2} - 1$

Этап 3

Приравняем первую производную к $0$ и найдем решение для $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$9 x^{2} = 1$

Этап 3.2

Разделим каждый член $9 x^{2} = 1$ на $9$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Разделим каждый член $9 x^{2} = 1$ на $9$ .

$\frac{9 x^{2}}{9} = \frac{1}{9}$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{9 x^{2}}{9} = \frac{1}{9}$

Этап 3.2.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{1}{9}$

Этап 3.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{9}}$

Этап 3.4

Упростим $\pm \sqrt{\frac{1}{9}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перепишем $\sqrt{\frac{1}{9}}$ в виде $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}}$

Этап 3.4.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{9}}$

Этап 3.4.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3^{2}}}$

Этап 3.4.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm \frac{1}{3}$

Этап 3.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{1}{3}$

Этап 3.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{1}{3}$

Этап 3.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{1}{3}, - \frac{1}{3}$

Этап 4

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы в окрестности значений $x$ , при которых первая производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, - \frac{1}{3}) \cup (- \frac{1}{3}, \frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{3}, \infty)$

Этап 5

Подставим любое число такое, что $- 3$ , из интервала $(- \infty, - \frac{1}{3})$ в первую производную $9 x^{2} - 1$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 3$ .

$f' (- 3) = 9 {(- 3)}^{2} - 1$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$f' (- 3) = 9 \cdot 9 - 1$

Этап 5.2.1.2

Умножим $9$ на $9$ .

$f' (- 3) = 81 - 1$

Этап 5.2.2

Вычтем $1$ из $81$ .

$f' (- 3) = 80$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ: $80$ .

$80$

Этап 6

Подставим любое число такое, что $0$ , из интервала $(- \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ в первую производную $9 x^{2} - 1$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f' (0) = 9 {(0)}^{2} - 1$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f' (0) = 9 \cdot 0 - 1$

Этап 6.2.1.2

Умножим $9$ на $0$ .

$f' (0) = 0 - 1$

Этап 6.2.2

Вычтем $1$ из $0$ .

$f' (0) = - 1$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $- 1$ .

$- 1$

Этап 7

Подставим любое число такое, что $3$ , из интервала $(\frac{1}{3}, \infty)$ в первую производную $9 x^{2} - 1$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$f' (3) = 9 {(3)}^{2} - 1$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f' (3) = 9 \cdot 9 - 1$

Этап 7.2.1.2

Умножим $9$ на $9$ .

$f' (3) = 81 - 1$

Этап 7.2.2

Вычтем $1$ из $81$ .

$f' (3) = 80$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $80$ .

$80$

Этап 8

Поскольку первая производная меняет знак с положительного на отрицательный в окрестности $x = - \frac{1}{3}$ , то в $x = - \frac{1}{3}$ имеется экстремальная точка.

Этап 9

Найдем y-координату $- \frac{1}{3}$ , чтобы найти экстремальную точку.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем $f (- \frac{1}{3})$ , чтобы найти y-координату $- \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{1}{3}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = 3 {(- \frac{1}{3})}^{3} - (- \frac{1}{3}) - 3$

Этап 9.1.2

Упростим $3 {(- \frac{1}{3})}^{3} - (- \frac{1}{3}) - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.1

Избавимся от скобок.

$3 {(- \frac{1}{3})}^{3} - (- \frac{1}{3}) - 3$

Этап 9.1.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.2.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.2.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{1}{3}$ .

$3 ({(- 1)}^{3} {(\frac{1}{3})}^{3}) - (- \frac{1}{3}) - 3$

Этап 9.1.2.2.1.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{3}$ .

$3 ({(- 1)}^{3} \frac{1^{3}}{3^{3}}) - (- \frac{1}{3}) - 3$

Этап 9.1.2.2.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$3 (- \frac{1^{3}}{3^{3}}) - (- \frac{1}{3}) - 3$

Этап 9.1.2.2.3

Единица в любой степени равна единице.

$3 (- \frac{1}{3^{3}}) - (- \frac{1}{3}) - 3$

Этап 9.1.2.2.4

Возведем $3$ в степень $3$ .

$3 (- \frac{1}{27}) - (- \frac{1}{3}) - 3$

Этап 9.1.2.2.5

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.2.5.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{27}$ в числитель.

$3 (\frac{- 1}{27}) - (- \frac{1}{3}) - 3$

Этап 9.1.2.2.5.2

Вынесем множитель $3$ из $27$ .

$3 \frac{- 1}{3 (9)} - (- \frac{1}{3}) - 3$

Этап 9.1.2.2.5.3

Сократим общий множитель.

$3 \frac{- 1}{3 \cdot 9} - (- \frac{1}{3}) - 3$

Этап 9.1.2.2.5.4

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1}{9} - (- \frac{1}{3}) - 3$

Этап 9.1.2.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{9} - (- \frac{1}{3}) - 3$

Этап 9.1.2.2.7

Умножим $- (- \frac{1}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.2.7.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- \frac{1}{9} + 1 (\frac{1}{3}) - 3$

Этап 9.1.2.2.7.2

Умножим $\frac{1}{3}$ на $1$ .

$- \frac{1}{9} + \frac{1}{3} - 3$

Этап 9.1.2.3

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.3.1

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{9} + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{3} - 3$

Этап 9.1.2.3.2

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{9} + \frac{3}{3 \cdot 3} - 3$

Этап 9.1.2.3.3

Запишем $- 3$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$- \frac{1}{9} + \frac{3}{3 \cdot 3} + \frac{- 3}{1}$

Этап 9.1.2.3.4

Умножим $\frac{- 3}{1}$ на $\frac{9}{9}$ .

$- \frac{1}{9} + \frac{3}{3 \cdot 3} + \frac{- 3}{1} \cdot \frac{9}{9}$

Этап 9.1.2.3.5

Умножим $\frac{- 3}{1}$ на $\frac{9}{9}$ .

$- \frac{1}{9} + \frac{3}{3 \cdot 3} + \frac{- 3 \cdot 9}{9}$

Этап 9.1.2.3.6

Умножим $3$ на $3$ .

$- \frac{1}{9} + \frac{3}{9} + \frac{- 3 \cdot 9}{9}$

Этап 9.1.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 1 + 3 - 3 \cdot 9}{9}$

Этап 9.1.2.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.5.1

Умножим $- 3$ на $9$ .

$\frac{- 1 + 3 - 27}{9}$

Этап 9.1.2.5.2

Добавим $- 1$ и $3$ .

$\frac{2 - 27}{9}$

Этап 9.1.2.5.3

Вычтем $27$ из $2$ .

$\frac{- 25}{9}$

Этап 9.1.2.5.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{25}{9}$

Этап 9.2

Запишем координаты $x$ и $y$ как координаты точки.

$(- \frac{1}{3}, - \frac{25}{9})$

Этап 10

Поскольку первая производная меняет знак с отрицательного на положительный в окрестности $x = \frac{1}{3}$ , то в $x = \frac{1}{3}$ имеется экстремальная точка.

Этап 11

Найдем y-координату $\frac{1}{3}$ , чтобы найти экстремальную точку.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Найдем $f (\frac{1}{3})$ , чтобы найти y-координату $\frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = 3 {(\frac{1}{3})}^{3} - (\frac{1}{3}) - 3$

Этап 11.1.2

Упростим $3 {(\frac{1}{3})}^{3} - (\frac{1}{3}) - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.2.1

Избавимся от скобок.

$3 {(\frac{1}{3})}^{3} - (\frac{1}{3}) - 3$

Этап 11.1.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.2.2.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{3}$ .

$3 \frac{1^{3}}{3^{3}} - (\frac{1}{3}) - 3$

Этап 11.1.2.2.2

Единица в любой степени равна единице.

$3 \frac{1}{3^{3}} - (\frac{1}{3}) - 3$

Этап 11.1.2.2.3

Возведем $3$ в степень $3$ .

$3 (\frac{1}{27}) - (\frac{1}{3}) - 3$

Этап 11.1.2.2.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.2.2.4.1

Вынесем множитель $3$ из $27$ .

$3 \frac{1}{3 (9)} - (\frac{1}{3}) - 3$

Этап 11.1.2.2.4.2

Сократим общий множитель.

$3 \frac{1}{3 \cdot 9} - (\frac{1}{3}) - 3$

Этап 11.1.2.2.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{9} - (\frac{1}{3}) - 3$

$\frac{1}{9} - \frac{1}{3} - 3$

Этап 11.1.2.3

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.2.3.1

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{9} - (\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{3}) - 3$

Этап 11.1.2.3.2

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{9} - \frac{3}{3 \cdot 3} - 3$

Этап 11.1.2.3.3

Запишем $- 3$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{1}{9} - \frac{3}{3 \cdot 3} + \frac{- 3}{1}$

Этап 11.1.2.3.4

Умножим $\frac{- 3}{1}$ на $\frac{9}{9}$ .

$\frac{1}{9} - \frac{3}{3 \cdot 3} + \frac{- 3}{1} \cdot \frac{9}{9}$

Этап 11.1.2.3.5

Умножим $\frac{- 3}{1}$ на $\frac{9}{9}$ .

$\frac{1}{9} - \frac{3}{3 \cdot 3} + \frac{- 3 \cdot 9}{9}$

Этап 11.1.2.3.6

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{1}{9} - \frac{3}{9} + \frac{- 3 \cdot 9}{9}$

Этап 11.1.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1 - 3 - 3 \cdot 9}{9}$

Этап 11.1.2.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.2.5.1

Умножим $- 3$ на $9$ .

$\frac{1 - 3 - 27}{9}$

Этап 11.1.2.5.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$\frac{- 2 - 27}{9}$

Этап 11.1.2.5.3

Вычтем $27$ из $- 2$ .

$\frac{- 29}{9}$

Этап 11.1.2.5.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{29}{9}$

Этап 11.2

Запишем координаты $x$ и $y$ как координаты точки.

$(\frac{1}{3}, - \frac{29}{9})$

Этап 12

Это экстремальные точки.

$(- \frac{1}{3}, - \frac{25}{9})$

$(\frac{1}{3}, - \frac{29}{9})$

Этап 13