Математический анализ Примеры

$2 \cos^{2} (x^{2} + 2)$

Этап 1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 \cos^{2} (x^{2} + 2)$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x^{2} + 2)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x^{2} + 2)]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \cos (x^{2} + 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\cos (x^{2} + 2)$ .

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x^{2} + 2)])$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\cos (x^{2} + 2)])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\cos (x^{2} + 2)$ .

$2 (2 \cos (x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2} + 2)])$

Этап 3

Умножим $2$ на $2$ .

$4 (\cos (x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2} + 2)])$

Этап 4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x^{2} + 2$ .

$4 \cos (x^{2} + 2) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{2} + 2])$

Этап 4.2

Производная $\cos (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $- \sin (u_{2})$ .

$4 \cos (x^{2} + 2) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2])$

Этап 4.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x^{2} + 2$ .

$4 \cos (x^{2} + 2) (- \sin (x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2])$

Этап 5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$- 4 \cos (x^{2} + 2) (\sin (x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2])$

Этап 5.2

По правилу суммы производная $x^{2} + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$- 4 \cos (x^{2} + 2) \sin (x^{2} + 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2])$

Этап 5.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 4 \cos (x^{2} + 2) \sin (x^{2} + 2) (2 x + \frac{d}{d x} [2])$

Этап 5.4

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 4 \cos (x^{2} + 2) \sin (x^{2} + 2) (2 x + 0)$

Этап 5.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$- 4 \cos (x^{2} + 2) \sin (x^{2} + 2) (2 x)$

Этап 5.5.2

Умножим $2$ на $- 4$ .

$- 8 \cos (x^{2} + 2) \sin (x^{2} + 2) x$

Этап 5.5.3

Изменим порядок множителей в $- 8 \cos (x^{2} + 2) \sin (x^{2} + 2) x$ .

$- 8 x \cos (x^{2} + 2) \sin (x^{2} + 2)$