Математический анализ Примеры

$f (x) = a x^{2} + 7 x - 3$

Этап 1

Квадратичная функция достигает минимума в $x = - \frac{b}{2 a}$ . Если $a$ принимает положительные значения, то минимальным значением функции будет $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{минимум}$ $x = a x^{2} + b x + c$ входит в $x = - \frac{b}{2 a}$

Этап 2

Найдем значение $x = - \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Подставим в значения $a$ и $b$ .

$x = - \frac{7}{2 (1)}$

Этап 2.2

Избавимся от скобок.

$x = - \frac{7}{2 (1)}$

Этап 2.3

Умножим $2$ на $1$ .

$x = - \frac{7}{2}$

Этап 3

Найдем значение $f (- \frac{7}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{7}{2}$ .

$f (- \frac{7}{2}) = a {(- \frac{7}{2})}^{2} + 7 (- \frac{7}{2}) - 3$

Этап 3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{7}{2}$ .

$f (- \frac{7}{2}) = a ({(- 1)}^{2} {(\frac{7}{2})}^{2}) + 7 (- \frac{7}{2}) - 3$

Этап 3.2.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{7}{2}$ .

$f (- \frac{7}{2}) = a ({(- 1)}^{2} (\frac{7^{2}}{2^{2}})) + 7 (- \frac{7}{2}) - 3$

Этап 3.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- \frac{7}{2}) = a (1 (\frac{7^{2}}{2^{2}})) + 7 (- \frac{7}{2}) - 3$

Этап 3.2.1.3

Умножим $\frac{7^{2}}{2^{2}}$ на $1$ .

$f (- \frac{7}{2}) = a (\frac{7^{2}}{2^{2}}) + 7 (- \frac{7}{2}) - 3$

Этап 3.2.1.4

Возведем $7$ в степень $2$ .

$f (- \frac{7}{2}) = a (\frac{49}{2^{2}}) + 7 (- \frac{7}{2}) - 3$

Этап 3.2.1.5

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (- \frac{7}{2}) = a (\frac{49}{4}) + 7 (- \frac{7}{2}) - 3$

Этап 3.2.1.6

Объединим $a$ и $\frac{49}{4}$ .

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{a \cdot 49}{4} + 7 (- \frac{7}{2}) - 3$

Этап 3.2.1.7

Перенесем $49$ влево от $a$ .

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{49 \cdot a}{4} + 7 (- \frac{7}{2}) - 3$

Этап 3.2.1.8

Умножим $7 (- \frac{7}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.8.1

Умножим $- 1$ на $7$ .

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{49 a}{4} - 7 (\frac{7}{2}) - 3$

Этап 3.2.1.8.2

Объединим $- 7$ и $\frac{7}{2}$ .

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{49 a}{4} + \frac{- 7 \cdot 7}{2} - 3$

Этап 3.2.1.8.3

Умножим $- 7$ на $7$ .

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{49 a}{4} + \frac{- 49}{2} - 3$

Этап 3.2.1.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{49 a}{4} - \frac{49}{2} - 3$

Этап 3.2.2

Чтобы записать $- 3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{49 a}{4} - \frac{49}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2}$

Этап 3.2.3

Объединим $- 3$ и $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{49 a}{4} - \frac{49}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2}$

Этап 3.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{49 a}{4} + \frac{- 49 - 3 \cdot 2}{2}$

Этап 3.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Умножим $- 3$ на $2$ .

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{49 a}{4} + \frac{- 49 - 6}{2}$

Этап 3.2.5.2

Вычтем $6$ из $- 49$ .

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{49 a}{4} + \frac{- 55}{2}$

Этап 3.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{49 a}{4} - \frac{55}{2}$

Этап 3.2.7

Окончательный ответ: $\frac{49 a}{4} - \frac{55}{2}$ .

$\frac{49 a}{4} - \frac{55}{2}$

Этап 4

Используем значения $x$ и $y$ , чтобы найти, где достигается минимум.

$(- \frac{7}{2}, \frac{49 a}{4} - \frac{55}{2})$

Этап 5