Математический анализ Примеры

$\int_{- 1}^{6} [5 y - (y^{2} - 6)] d y$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int_{- 1}^{6} 5 y - (y^{2} - 6) d y$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- 1}^{6} 5 y d y + \int_{- 1}^{6} - (y^{2} - 6) d y$

Этап 3

Поскольку $5$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$5 \int_{- 1}^{6} y d y + \int_{- 1}^{6} - (y^{2} - 6) d y$

Этап 4

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$5 (\frac{1}{2} y^{2}]_{- 1}^{6}) + \int_{- 1}^{6} - (y^{2} - 6) d y$

Этап 5

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y^{2}$ .

$5 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{6}) + \int_{- 1}^{6} - (y^{2} - 6) d y$

Этап 6

Умножим $- (y^{2} - 6)$ .

$5 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{6}) + \int_{- 1}^{6} - y^{2} - - 6 d y$

Этап 7

Умножим $- 1$ на $- 6$ .

$5 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{6}) + \int_{- 1}^{6} - y^{2} + 6 d y$

Этап 8

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$5 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{6}) + \int_{- 1}^{6} - y^{2} d y + \int_{- 1}^{6} 6 d y$

Этап 9

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$5 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{6}) - \int_{- 1}^{6} y^{2} d y + \int_{- 1}^{6} 6 d y$

Этап 10

По правилу степени интеграл $y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$5 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{6}) - (\frac{1}{3} y^{3}]_{- 1}^{6}) + \int_{- 1}^{6} 6 d y$

Этап 11

Объединим $\frac{1}{3}$ и $y^{3}$ .

$5 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{6}) - (\frac{y^{3}}{3}]_{- 1}^{6}) + \int_{- 1}^{6} 6 d y$

Этап 12

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$5 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{6}) - (\frac{y^{3}}{3}]_{- 1}^{6}) + 6 y]_{- 1}^{6}$

Этап 13

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Найдем значение $\frac{y^{2}}{2}$ в $6$ и в $- 1$ .

$5 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{y^{3}}{3}]_{- 1}^{6}) + 6 y]_{- 1}^{6}$

Этап 13.2

Найдем значение $\frac{y^{3}}{3}$ в $6$ и в $- 1$ .

$5 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 6 y]_{- 1}^{6}$

Этап 13.3

Найдем значение $6 y$ в $6$ и в $- 1$ .

$5 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Этап 13.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.1

Возведем $6$ в степень $2$ .

$5 (\frac{36}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Этап 13.4.2

Сократим общий множитель $36$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $36$ .

$5 (\frac{2 \cdot 18}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Этап 13.4.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$5 (\frac{2 \cdot 18}{2 (1)} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Этап 13.4.2.2.2

Сократим общий множитель.

$5 (\frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Этап 13.4.2.2.3

Перепишем это выражение.

$5 (\frac{18}{1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Этап 13.4.2.2.4

Разделим $18$ на $1$ .

$5 (18 - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Этап 13.4.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$5 (18 - \frac{1}{2}) - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Этап 13.4.4

Чтобы записать $18$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$5 (18 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}) - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Этап 13.4.5

Объединим $18$ и $\frac{2}{2}$ .

$5 (\frac{18 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}) - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Этап 13.4.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$5 \frac{18 \cdot 2 - 1}{2} - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Этап 13.4.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.7.1

Умножим $18$ на $2$ .

$5 \frac{36 - 1}{2} - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Этап 13.4.7.2

Вычтем $1$ из $36$ .

$5 (\frac{35}{2}) - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Этап 13.4.8

Объединим $5$ и $\frac{35}{2}$ .

$\frac{5 \cdot 35}{2} - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Этап 13.4.9

Умножим $5$ на $35$ .

$\frac{175}{2} - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Этап 13.4.10

Возведем $6$ в степень $3$ .

$\frac{175}{2} - (\frac{216}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Этап 13.4.11

Сократим общий множитель $216$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.11.1

Вынесем множитель $3$ из $216$ .

$\frac{175}{2} - (\frac{3 \cdot 72}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Этап 13.4.11.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.11.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{175}{2} - (\frac{3 \cdot 72}{3 (1)} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Этап 13.4.11.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{175}{2} - (\frac{3 \cdot 72}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Этап 13.4.11.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{175}{2} - (\frac{72}{1} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Этап 13.4.11.2.4

Разделим $72$ на $1$ .

$\frac{175}{2} - (72 - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Этап 13.4.12

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$\frac{175}{2} - (72 - \frac{- 1}{3}) + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Этап 13.4.13

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{175}{2} - (72 - - \frac{1}{3}) + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Этап 13.4.14

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{175}{2} - (72 + 1 (\frac{1}{3})) + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Этап 13.4.15

Умножим $\frac{1}{3}$ на $1$ .

$\frac{175}{2} - (72 + \frac{1}{3}) + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Этап 13.4.16

Чтобы записать $72$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{175}{2} - (72 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}) + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Этап 13.4.17

Объединим $72$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{175}{2} - (\frac{72 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}) + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Этап 13.4.18

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{175}{2} - \frac{72 \cdot 3 + 1}{3} + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Этап 13.4.19

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.19.1

Умножим $72$ на $3$ .

$\frac{175}{2} - \frac{216 + 1}{3} + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Этап 13.4.19.2

Добавим $216$ и $1$ .

$\frac{175}{2} - \frac{217}{3} + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Этап 13.4.20

Чтобы записать $\frac{175}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{175}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{217}{3} + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Этап 13.4.21

Чтобы записать $- \frac{217}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{175}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{217}{3} \cdot \frac{2}{2} + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Этап 13.4.22

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $6$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.22.1

Умножим $\frac{175}{2}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{175 \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{217}{3} \cdot \frac{2}{2} + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Этап 13.4.22.2

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{175 \cdot 3}{6} - \frac{217}{3} \cdot \frac{2}{2} + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Этап 13.4.22.3

Умножим $\frac{217}{3}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{175 \cdot 3}{6} - \frac{217 \cdot 2}{3 \cdot 2} + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Этап 13.4.22.4

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{175 \cdot 3}{6} - \frac{217 \cdot 2}{6} + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Этап 13.4.23

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{175 \cdot 3 - 217 \cdot 2}{6} + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Этап 13.4.24

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.24.1

Умножим $175$ на $3$ .

$\frac{525 - 217 \cdot 2}{6} + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Этап 13.4.24.2

Умножим $- 217$ на $2$ .

$\frac{525 - 434}{6} + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Этап 13.4.24.3

Вычтем $434$ из $525$ .

$\frac{91}{6} + (6 \cdot 6) - 6 \cdot - 1$

Этап 13.4.25

Умножим $6$ на $6$ .

$\frac{91}{6} + 36 - 6 \cdot - 1$

Этап 13.4.26

Умножим $- 6$ на $- 1$ .

$\frac{91}{6} + 36 + 6$

Этап 13.4.27

Добавим $36$ и $6$ .

$\frac{91}{6} + 42$

Этап 13.4.28

Чтобы записать $42$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$\frac{91}{6} + 42 \cdot \frac{6}{6}$

Этап 13.4.29

Объединим $42$ и $\frac{6}{6}$ .

$\frac{91}{6} + \frac{42 \cdot 6}{6}$

Этап 13.4.30

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{91 + 42 \cdot 6}{6}$

Этап 13.4.31

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.31.1

Умножим $42$ на $6$ .

$\frac{91 + 252}{6}$

Этап 13.4.31.2

Добавим $91$ и $252$ .

$\frac{343}{6}$

Этап 14

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{343}{6}$

Десятичная форма:

$57.1\overline{6}$

Форма смешанных чисел:

$57 \frac{1}{6}$

Этап 15