Математический анализ Примеры

$V = \frac{1}{3} π r^{2} h$

Этап 1

Запишем правую часть в виде рациональных экспонент.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Избавимся от скобок.

$V = \frac{1}{3} \cdot ((π r^{2}) h)$

Этап 1.2

Избавимся от скобок.

$V = \frac{1}{3} \cdot (π r^{2} h)$

Этап 2

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d r} (V) = \frac{d}{d r} (\frac{1}{3} \cdot (π r^{2} h))$

Этап 3

Производная $V$ по $r$ равна $V'$ .

$V'$

Этап 4

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Объединим $π$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{d}{d r} [\frac{π}{3} \cdot (r^{2} h)]$

Этап 4.1.2

Объединим $r^{2}$ и $\frac{π}{3}$ .

$\frac{d}{d r} [\frac{r^{2} π}{3} \cdot h]$

Этап 4.1.3

Объединим $\frac{r^{2} π}{3}$ и $h$ .

$\frac{d}{d r} [\frac{r^{2} π h}{3}]$

Этап 4.2

Поскольку $\frac{π h}{3}$ является константой относительно $r$ , производная $\frac{r^{2} π h}{3}$ по $r$ равна $\frac{π h}{3} \frac{d}{d r} [r^{2}]$ .

$\frac{π h}{3} \frac{d}{d r} [r^{2}]$

Этап 4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ имеет вид $n r^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{π h}{3} (2 r)$

Этап 4.4

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Объединим $2$ и $\frac{π h}{3}$ .

$\frac{2 (π h)}{3} r$

Этап 4.4.2

Объединим $\frac{2 (π h)}{3}$ и $r$ .

$\frac{2 π h r}{3}$

Этап 5

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$V' = \frac{2 π h r}{3}$

Этап 6

Заменим $V'$ на $\frac{d V}{d r}$ .

$\frac{d V}{d r} = \frac{2 π h r}{3}$