Математический анализ Примеры

$\int [3 \sec^{2} (t) + \frac{1}{\sqrt{t}}] d t$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int 3 \sec^{2} (t) + \frac{1}{\sqrt{t}} d t$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 3 \sec^{2} (t) d t + \int \frac{1}{\sqrt{t}} d t$

Этап 3

Поскольку $3$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$3 \int \sec^{2} (t) d t + \int \frac{1}{\sqrt{t}} d t$

Этап 4

Поскольку производная $\tan (t)$ равна $\sec^{2} (t)$ , интеграл $\sec^{2} (t)$ равен $\tan (t)$ .

$3 (\tan (t) + C) + \int \frac{1}{\sqrt{t}} d t$

Этап 5

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{t}$ в виде $t^{\frac{1}{2}}$ .

$3 (\tan (t) + C) + \int \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} d t$

Этап 5.2

Вынесем $t^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$3 (\tan (t) + C) + \int {(t^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d t$

Этап 5.3

Перемножим экспоненты в ${(t^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 (\tan (t) + C) + \int t^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d t$

Этап 5.3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$3 (\tan (t) + C) + \int t^{\frac{- 1}{2}} d t$

Этап 5.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$3 (\tan (t) + C) + \int t^{- \frac{1}{2}} d t$

Этап 6

По правилу степени интеграл $t^{- \frac{1}{2}}$ по $t$ имеет вид $2 t^{\frac{1}{2}}$ .

$3 (\tan (t) + C) + 2 t^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 7

Упростим.

$3 \tan (t) + 2 t^{\frac{1}{2}} + C$