Математический анализ Примеры

$y = \frac{x - 6}{4 x}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x - 6}{4 x})$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $\frac{1}{4}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x - 6}{4 x}$ по $x$ равна $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{x - 6}{x}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{x - 6}{x}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x - 6$ и $g (x) = x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [x - 6] - (x - 6) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

По правилу суммы производная $x - 6$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]) - (x - 6) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x (1 + \frac{d}{d x} [- 6]) - (x - 6) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3.3.3

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x (1 + 0) - (x - 6) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3.3.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x \cdot 1 - (x - 6) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3.3.4.2

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x - (x - 6) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x - (x - 6) \cdot 1}{x^{2}}$

Этап 3.3.6

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x - (x - 6)}{x^{2}}$

Этап 3.3.6.2

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{x - (x - 6)}{x^{2}}$ .

$\frac{x - (x - 6)}{4 x^{2}}$

Этап 3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x - x - - 6}{4 x^{2}}$

Этап 3.4.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Вычтем $x$ из $x$ .

$\frac{0 - - 6}{4 x^{2}}$

Этап 3.4.2.2

Вычтем $- 6$ из $0$ .

$\frac{- - 6}{4 x^{2}}$

Этап 3.4.2.3

Умножим $- 1$ на $- 6$ .

$\frac{6}{4 x^{2}}$

Этап 3.4.3

Сократим общий множитель $6$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{2 (3)}{4 x^{2}}$

Этап 3.4.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4 x^{2}$ .

$\frac{2 (3)}{2 (2 x^{2})}$

Этап 3.4.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 3}{2 (2 x^{2})}$

Этап 3.4.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3}{2 x^{2}}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = \frac{3}{2 x^{2}}$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3}{2 x^{2}}$