Математический анализ Примеры

$\int (\frac{1}{x} - \frac{6}{x^{2} + 1}) d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int \frac{1}{x} - \frac{6}{x^{2} + 1} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{1}{x} d x + \int - \frac{6}{x^{2} + 1} d x$

Этап 3

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |) + C + \int - \frac{6}{x^{2} + 1} d x$

Этап 4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\ln (| x |) + C - \int \frac{6}{x^{2} + 1} d x$

Этап 5

Поскольку $6$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $6$ из-под знака интеграла.

$\ln (| x |) + C - (6 \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

Этап 6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $6$ на $- 1$ .

$\ln (| x |) + C - 6 \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Этап 6.2

Изменим порядок $x^{2}$ и $1$ .

$\ln (| x |) + C - 6 \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Этап 6.3

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\ln (| x |) + C - 6 \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Этап 7

Интеграл $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ по $x$ имеет вид $\arctan (x) + C$ .

$\ln (| x |) + C - 6 (\arctan (x) + C)$

Этап 8

Упростим.

$\ln (| x |) - 6 \arctan (x) + C$