Математический анализ Примеры

${(\tan (x) + \cot (x))}^{2}$

Этап 1

Запишем ${(\tan (x) + \cot (x))}^{2}$ в виде функции.

$f (x) = {(\tan (x) + \cot (x))}^{2}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int {(\tan (x) + \cot (x))}^{2} d x$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем ${(\tan (x) + \cot (x))}^{2}$ в виде $(\tan (x) + \cot (x)) (\tan (x) + \cot (x))$ .

$\int (\tan (x) + \cot (x)) (\tan (x) + \cot (x)) d x$

Этап 4.2

Развернем $(\tan (x) + \cot (x)) (\tan (x) + \cot (x))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int \tan (x) (\tan (x) + \cot (x)) + \cot (x) (\tan (x) + \cot (x)) d x$

Этап 4.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\int \tan (x) \tan (x) + \tan (x) \cot (x) + \cot (x) (\tan (x) + \cot (x)) d x$

Этап 4.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\int \tan (x) \tan (x) + \tan (x) \cot (x) + \cot (x) \tan (x) + \cot (x) \cot (x) d x$

Этап 4.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Умножим $\tan (x) \tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1.1

Возведем $\tan (x)$ в степень $1$ .

$\int \tan^{1} (x) \tan (x) + \tan (x) \cot (x) + \cot (x) \tan (x) + \cot (x) \cot (x) d x$

Этап 4.3.1.1.2

Возведем $\tan (x)$ в степень $1$ .

$\int \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) + \tan (x) \cot (x) + \cot (x) \tan (x) + \cot (x) \cot (x) d x$

Этап 4.3.1.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int {\tan (x)}^{1 + 1} + \tan (x) \cot (x) + \cot (x) \tan (x) + \cot (x) \cot (x) d x$

Этап 4.3.1.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\int \tan^{2} (x) + \tan (x) \cot (x) + \cot (x) \tan (x) + \cot (x) \cot (x) d x$

Этап 4.3.1.2

Выразим через синусы и косинусы, затем сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.1

Изменим порядок $\tan (x)$ и $\cot (x)$ .

$\int \tan^{2} (x) + \cot (x) \tan (x) + \cot (x) \tan (x) + \cot (x) \cot (x) d x$

Этап 4.3.1.2.2

Выразим $\tan (x) \cot (x)$ через синусы и косинусы.

$\int \tan^{2} (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cot (x) \tan (x) + \cot (x) \cot (x) d x$

Этап 4.3.1.2.3

Сократим общие множители.

$\int \tan^{2} (x) + 1 + \cot (x) \tan (x) + \cot (x) \cot (x) d x$

Этап 4.3.1.3

Выразим через синусы и косинусы, затем сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.3.1

Выразим $\cot (x) \tan (x)$ через синусы и косинусы.

$\int \tan^{2} (x) + 1 + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cot (x) \cot (x) d x$

Этап 4.3.1.3.2

Сократим общие множители.

$\int \tan^{2} (x) + 1 + 1 + \cot (x) \cot (x) d x$

Этап 4.3.1.4

Умножим $\cot (x) \cot (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.4.1

Возведем $\cot (x)$ в степень $1$ .

$\int \tan^{2} (x) + 1 + 1 + \cot^{1} (x) \cot (x) d x$

Этап 4.3.1.4.2

Возведем $\cot (x)$ в степень $1$ .

$\int \tan^{2} (x) + 1 + 1 + \cot^{1} (x) \cot^{1} (x) d x$

Этап 4.3.1.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int \tan^{2} (x) + 1 + 1 + {\cot (x)}^{1 + 1} d x$

Этап 4.3.1.4.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\int \tan^{2} (x) + 1 + 1 + \cot^{2} (x) d x$

Этап 4.3.2

Добавим $1$ и $1$ .

$\int \tan^{2} (x) + 2 + \cot^{2} (x) d x$

Этап 5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \tan^{2} (x) d x + \int 2 d x + \int \cot^{2} (x) d x$

Этап 6

Используя формулы Пифагора, запишем $\tan^{2} (x)$ в виде $- 1 + \sec^{2} (x)$ .

$\int - 1 + \sec^{2} (x) d x + \int 2 d x + \int \cot^{2} (x) d x$

Этап 7

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int - 1 d x + \int \sec^{2} (x) d x + \int 2 d x + \int \cot^{2} (x) d x$

Этап 8

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- x + C + \int \sec^{2} (x) d x + \int 2 d x + \int \cot^{2} (x) d x$

Этап 9

Поскольку производная $\tan (x)$ равна $\sec^{2} (x)$ , интеграл $\sec^{2} (x)$ равен $\tan (x)$ .

$- x + C + \tan (x) + C + \int 2 d x + \int \cot^{2} (x) d x$

Этап 10

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- x + C + \tan (x) + C + 2 x + C + \int \cot^{2} (x) d x$

Этап 11

Используя формулы Пифагора, запишем $\cot^{2} (x)$ в виде $- 1 + \csc^{2} (x)$ .

$- x + C + \tan (x) + C + 2 x + C + \int - 1 + \csc^{2} (x) d x$

Этап 12

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$- x + C + \tan (x) + C + 2 x + C + \int - 1 d x + \int \csc^{2} (x) d x$

Этап 13

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- x + C + \tan (x) + C + 2 x + C - x + C + \int \csc^{2} (x) d x$

Этап 14

Поскольку производная $- \cot (x)$ равна $\csc^{2} (x)$ , интеграл $\csc^{2} (x)$ равен $- \cot (x)$ .

$- x + C + \tan (x) + C + 2 x + C - x + C - \cot (x) + C$

Этап 15

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.1

Добавим $- x$ и $2 x$ .

$C + \tan (x) + C + x + C - x + C - \cot (x) + C$

Этап 15.1.2

Вычтем $x$ из $x$ .

$C + \tan (x) + C + C + 0 + C - \cot (x) + C$

Этап 15.1.3

Добавим $C + \tan (x) + C + C$ и $0$ .

$C + \tan (x) + C + C + C - \cot (x) + C$

Этап 15.2

Упростим.

$\tan (x) - \cot (x) + C$

Этап 16

Ответ ― первообразная функции $f (x) = {(\tan (x) + \cot (x))}^{2}$ .

$F (x) =$ $\tan (x) - \cot (x) + C$