Математический анализ Примеры

$\int \frac{x + 2 x^{2} + 3 x^{3}}{x} d x$

Этап 1

Разделим дробь на несколько дробей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $x$ из $x + 2 x^{2} + 3 x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int \frac{x^{1} + 2 x^{2} + 3 x^{3}}{x} d x$

Этап 1.1.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$\int \frac{x \cdot 1 + 2 x^{2} + 3 x^{3}}{x} d x$

Этап 1.1.3

Вынесем множитель $x$ из $2 x^{2}$ .

$\int \frac{x \cdot 1 + x (2 x) + 3 x^{3}}{x} d x$

Этап 1.1.4

Вынесем множитель $x$ из $3 x^{3}$ .

$\int \frac{x \cdot 1 + x (2 x) + x (3 x^{2})}{x} d x$

Этап 1.1.5

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot 1 + x (2 x)$ .

$\int \frac{x \cdot (1 + 2 x) + x (3 x^{2})}{x} d x$

Этап 1.1.6

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot (1 + 2 x) + x (3 x^{2})$ .

$\int \frac{x (1 + 2 x + 3 x^{2})}{x} d x$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель.

$\int \frac{x (1 + 2 x + 3 x^{2})}{x} d x$

Этап 1.2.2

Разделим $1 + 2 x + 3 x^{2}$ на $1$ .

$\int 1 + 2 x + 3 x^{2} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int d x + \int 2 x d x + \int 3 x^{2} d x$

Этап 3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$x + C + \int 2 x d x + \int 3 x^{2} d x$

Этап 4

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$x + C + 2 \int x d x + \int 3 x^{2} d x$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$x + C + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 3 x^{2} d x$

Этап 6

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$x + C + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 3 \int x^{2} d x$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$x + C + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим.

$x + x^{2} + 3 (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

Этап 8.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$x + x^{2} + 3 \frac{x^{3}}{3} + C$

Этап 8.2.2

Объединим $3$ и $\frac{x^{3}}{3}$ .

$x + x^{2} + \frac{3 x^{3}}{3} + C$

Этап 8.2.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1

Сократим общий множитель.

$x + x^{2} + \frac{3 x^{3}}{3} + C$

Этап 8.2.3.2

Разделим $x^{3}$ на $1$ .

$x + x^{2} + x^{3} + C$