Математический анализ Примеры

$\frac{5 + 2 x^{4}}{x^{2}}$

Этап 1

Запишем $\frac{5 + 2 x^{4}}{x^{2}}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{5 + 2 x^{4}}{x^{2}}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{5 + 2 x^{4}}{x^{2}} d x$

Этап 4

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int (5 + 2 x^{4}) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Этап 4.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (5 + 2 x^{4}) x^{2 \cdot - 1} d x$

Этап 4.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\int (5 + 2 x^{4}) x^{- 2} d x$

Этап 5

Умножим $(5 + 2 x^{4}) x^{- 2}$ .

$\int 5 x^{- 2} + 2 x^{4} x^{- 2} d x$

Этап 6

Умножим $x^{4}$ на $x^{- 2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перенесем $x^{- 2}$ .

$\int 5 x^{- 2} + 2 (x^{- 2} x^{4}) d x$

Этап 6.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int 5 x^{- 2} + 2 x^{- 2 + 4} d x$

Этап 6.3

Добавим $- 2$ и $4$ .

$\int 5 x^{- 2} + 2 x^{2} d x$

Этап 7

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 5 x^{- 2} d x + \int 2 x^{2} d x$

Этап 8

Поскольку $5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$5 \int x^{- 2} d x + \int 2 x^{2} d x$

Этап 9

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$5 (- x^{- 1} + C) + \int 2 x^{2} d x$

Этап 10

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$5 (- x^{- 1} + C) + 2 \int x^{2} d x$

Этап 11

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$5 (- x^{- 1} + C) + 2 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Этап 12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Упростим.

$5 (- \frac{1}{x}) + 2 (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

Этап 12.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$- 5 \frac{1}{x} + 2 (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

Этап 12.2.2

Объединим $- 5$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{- 5}{x} + 2 (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

Этап 12.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{5}{x} + 2 (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

Этап 12.2.4

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$- \frac{5}{x} + 2 \frac{x^{3}}{3} + C$

Этап 12.2.5

Объединим $2$ и $\frac{x^{3}}{3}$ .

$- \frac{5}{x} + \frac{2 x^{3}}{3} + C$

Этап 12.3

Изменим порядок членов.

$- \frac{5}{x} + \frac{2}{3} x^{3} + C$

Этап 13

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{5 + 2 x^{4}}{x^{2}}$ .

$F (x) =$ $- \frac{5}{x} + \frac{2}{3} x^{3} + C$