Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{2} \frac{e^{2 x^{- 2}}}{x^{3}} d x$

Этап 1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем $x^{3}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int_{1}^{2} e^{2 x^{- 2}} {(x^{3})}^{- 1} d x$

Этап 1.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{2} e^{2 x^{- 2}} x^{3 \cdot - 1} d x$

Этап 1.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\int_{1}^{2} e^{2 x^{- 2}} x^{- 3} d x$

Этап 2

Пусть $u_{1} = x^{2}$ . Тогда $d u_{1} = 2 x d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u_{1} = x^{2}$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x$

Этап 2.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u_{1} = x^{2}$ .

$u_{lower} = 1^{2}$

Этап 2.3

Единица в любой степени равна единице.

$u_{lower} = 1$

Этап 2.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u_{1} = x^{2}$ .

$u_{upper} = 2^{2}$

Этап 2.5

Возведем $2$ в степень $2$ .

$u_{upper} = 4$

Этап 2.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 4$

Этап 2.7

Переформулируем задачу, используя $u_{1}$ , $d u_{1}$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{1}^{4} e^{2 {\sqrt{u_{1}}}^{- 2}} {\sqrt{u_{1}}}^{- 4} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем ${\sqrt{u_{1}}}^{- 2}$ в виде ${u_{1}}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u_{1}}$ в виде ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{4} e^{2 {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 2}} {\sqrt{u_{1}}}^{- 4} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 3.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot - 2}} {\sqrt{u_{1}}}^{- 4} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 3.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 2$ .

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{\frac{- 2}{2}}} {\sqrt{u_{1}}}^{- 4} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 3.1.4

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2}}} {\sqrt{u_{1}}}^{- 4} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 3.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}}} {\sqrt{u_{1}}}^{- 4} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 3.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}}} {\sqrt{u_{1}}}^{- 4} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 3.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{\frac{- 1}{1}}} {\sqrt{u_{1}}}^{- 4} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 3.1.4.2.4

Разделим $- 1$ на $1$ .

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{- 1}} {\sqrt{u_{1}}}^{- 4} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 3.2

Перепишем ${\sqrt{u_{1}}}^{- 4}$ в виде ${u_{1}}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u_{1}}$ в виде ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{- 1}} {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 4} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 3.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{- 1}} {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot - 4} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 3.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 4$ .

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{- 1}} {u_{1}}^{\frac{- 4}{2}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 3.2.4

Сократим общий множитель $- 4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{- 1}} {u_{1}}^{\frac{2 \cdot - 2}{2}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 3.2.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{- 1}} {u_{1}}^{\frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 3.2.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{- 1}} {u_{1}}^{\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 3.2.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{- 1}} {u_{1}}^{\frac{- 2}{1}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 3.2.4.2.4

Разделим $- 2$ на $1$ .

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{- 1}} {u_{1}}^{- 2} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 3.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $e^{2 {u_{1}}^{- 1}}$ .

$\int_{1}^{4} \frac{e^{2 {u_{1}}^{- 1}}}{2} {u_{1}}^{- 2} d u_{1}$

Этап 3.4

Объединим $\frac{e^{2 {u_{1}}^{- 1}}}{2}$ и ${u_{1}}^{- 2}$ .

$\int_{1}^{4} \frac{e^{2 {u_{1}}^{- 1}} {u_{1}}^{- 2}}{2} d u_{1}$

Этап 3.5

Перенесем ${u_{1}}^{- 2}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\int_{1}^{4} \frac{e^{2 {u_{1}}^{- 1}}}{2 {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{4} \frac{e^{2 {u_{1}}^{- 1}}}{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Этап 5

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем ${u_{1}}^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{- 1}} {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1}$

Этап 5.2

Перемножим экспоненты в ${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{- 1}} {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1}$

Этап 5.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{- 1}} {u_{1}}^{- 2} d u_{1}$

Этап 6

Пусть $u_{2} = 2 {u_{1}}^{- 1}$ . Тогда $d u_{2} = - \frac{2}{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$ , следовательно $1 d u_{2} = - \frac{2}{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть $u_{2} = 2 {u_{1}}^{- 1}$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Дифференцируем $2 {u_{1}}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 {u_{1}}^{- 1}]$

Этап 6.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $u_{1}$ , производная $2 {u_{1}}^{- 1}$ по $u_{1}$ равна $2 \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}]$

Этап 6.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$2 (- {u_{1}}^{- 2})$

Этап 6.1.4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 {u_{1}}^{- 2}$

Этап 6.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.5.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{{u_{1}}^{2}}$

Этап 6.1.5.2

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{{u_{1}}^{2}}$ .

$\frac{- 2}{{u_{1}}^{2}}$

Этап 6.1.5.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2}{{u_{1}}^{2}}$

Этап 6.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $u_{1}$ в $u_{2} = 2 {u_{1}}^{- 1}$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 1^{- 1}$

Этап 6.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u_{lower} = 2 \cdot \frac{1}{1}$

Этап 6.3.2

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Сократим общий множитель.

$u_{lower} = 2 \cdot \frac{1}{1}$

Этап 6.3.2.2

Перепишем это выражение.

$u_{lower} = 2 \cdot 1$

Этап 6.3.3

Умножим $2$ на $1$ .

$u_{lower} = 2$

Этап 6.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $u_{1}$ в $u_{2} = 2 {u_{1}}^{- 1}$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 4^{- 1}$

Этап 6.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u_{upper} = 2 \cdot \frac{1}{4}$

Этап 6.5.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$u_{upper} = 2 \cdot \frac{1}{2 (2)}$

Этап 6.5.2.2

Сократим общий множитель.

$u_{upper} = 2 \cdot \frac{1}{2 \cdot 2}$

Этап 6.5.2.3

Перепишем это выражение.

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

Этап 6.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

Этап 6.7

Переформулируем задачу, используя $u_{2}$ , $d u_{2}$ и новые пределы интегрирования.

$\frac{1}{2} \int_{2}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2} e^{u_{2}} d u_{2}$

Этап 7

Поскольку $- \frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $- \frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \int_{2}^{\frac{1}{2}} e^{u_{2}} d u_{2})$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2 \cdot 2} \int_{2}^{\frac{1}{2}} e^{u_{2}} d u_{2}$

Этап 8.2

Умножим $2$ на $2$ .

$- \frac{1}{4} \int_{2}^{\frac{1}{2}} e^{u_{2}} d u_{2}$

Этап 9

Интеграл $e^{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $e^{u_{2}}$ .

$- \frac{1}{4} e^{u_{2}}]_{2}^{\frac{1}{2}}$

Этап 10

Найдем значение $e^{u_{2}}$ в $\frac{1}{2}$ и в $2$ .

$- \frac{1}{4} (e^{\frac{1}{2}} - e^{2})$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{1}{4} e^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{4} (- e^{2})$

Этап 11.2

Объединим $e^{\frac{1}{2}}$ и $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{e^{\frac{1}{2}}}{4} - \frac{1}{4} (- e^{2})$

Этап 11.3

Умножим $- \frac{1}{4} (- e^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- \frac{e^{\frac{1}{2}}}{4} + 1 (\frac{1}{4}) e^{2}$

Этап 11.3.2

Умножим $\frac{1}{4}$ на $1$ .

$- \frac{e^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{1}{4} e^{2}$

Этап 11.3.3

Объединим $\frac{1}{4}$ и $e^{2}$ .

$- \frac{e^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{e^{2}}{4}$

Этап 12

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{e^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{e^{2}}{4}$

Десятичная форма:

$1.43508370 \dots$

Этап 13