Математический анализ Примеры

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{3} - 5 x + 7}{1 - x + x^{2} - x^{3}}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $- 1$ .

$\frac{lim_{x \to - 1} x^{3} - 5 x + 7}{lim_{x \to - 1} 1 - x + x^{2} - x^{3}}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 1$ .

$\frac{lim_{x \to - 1} x^{3} - lim_{x \to - 1} 5 x + lim_{x \to - 1} 7}{lim_{x \to - 1} 1 - x + x^{2} - x^{3}}$

Этап 3

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to - 1} x)}^{3} - lim_{x \to - 1} 5 x + lim_{x \to - 1} 7}{lim_{x \to - 1} 1 - x + x^{2} - x^{3}}$

Этап 4

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to - 1} x)}^{3} - 5 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 7}{lim_{x \to - 1} 1 - x + x^{2} - x^{3}}$

Этап 5

Найдем предел $7$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 1$ .

$\frac{{(lim_{x \to - 1} x)}^{3} - 5 lim_{x \to - 1} x + 7}{lim_{x \to - 1} 1 - x + x^{2} - x^{3}}$

Этап 6

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 1$ .

$\frac{{(lim_{x \to - 1} x)}^{3} - 5 lim_{x \to - 1} x + 7}{lim_{x \to - 1} 1 - lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} x^{2} - lim_{x \to - 1} x^{3}}$

Этап 7

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 1$ .

$\frac{{(lim_{x \to - 1} x)}^{3} - 5 lim_{x \to - 1} x + 7}{1 - lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} x^{2} - lim_{x \to - 1} x^{3}}$

Этап 8

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to - 1} x)}^{3} - 5 lim_{x \to - 1} x + 7}{1 - lim_{x \to - 1} x + {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - lim_{x \to - 1} x^{3}}$

Этап 9

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to - 1} x)}^{3} - 5 lim_{x \to - 1} x + 7}{1 - lim_{x \to - 1} x + {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - {(lim_{x \to - 1} x)}^{3}}$

Этап 10

Найдем значения пределов, подставив значение $- 1$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 1$ для $x$ .

$\frac{{(- 1)}^{3} - 5 lim_{x \to - 1} x + 7}{1 - lim_{x \to - 1} x + {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - {(lim_{x \to - 1} x)}^{3}}$

Этап 10.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 1$ для $x$ .

$\frac{{(- 1)}^{3} - 5 \cdot - 1 + 7}{1 - lim_{x \to - 1} x + {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - {(lim_{x \to - 1} x)}^{3}}$

Этап 10.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 1$ для $x$ .

$\frac{{(- 1)}^{3} - 5 \cdot - 1 + 7}{1 + 1 + {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - {(lim_{x \to - 1} x)}^{3}}$

Этап 10.4

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 1$ для $x$ .

$\frac{{(- 1)}^{3} - 5 \cdot - 1 + 7}{1 + 1 + {(- 1)}^{2} - {(lim_{x \to - 1} x)}^{3}}$

Этап 10.5

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 1$ для $x$ .

$\frac{{(- 1)}^{3} - 5 \cdot - 1 + 7}{1 + 1 + {(- 1)}^{2} - {(- 1)}^{3}}$

Этап 11

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$\frac{- 1 - 5 \cdot - 1 + 7}{1 + 1 + {(- 1)}^{2} - {(- 1)}^{3}}$

Этап 11.1.2

Умножим $- 5$ на $- 1$ .

$\frac{- 1 + 5 + 7}{1 + 1 + {(- 1)}^{2} - {(- 1)}^{3}}$

Этап 11.1.3

Добавим $- 1$ и $5$ .

$\frac{4 + 7}{1 + 1 + {(- 1)}^{2} - {(- 1)}^{3}}$

Этап 11.1.4

Добавим $4$ и $7$ .

$\frac{11}{1 + 1 + {(- 1)}^{2} - {(- 1)}^{3}}$

Этап 11.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\frac{11}{1 + 1 + 1 - {(- 1)}^{3}}$

Этап 11.2.2

Умножим $- 1$ на ${(- 1)}^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Умножим $- 1$ на ${(- 1)}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1.1

Возведем $- 1$ в степень $1$ .

$\frac{11}{1 + 1 + 1 + {(- 1)}^{1} {(- 1)}^{3}}$

Этап 11.2.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{11}{1 + 1 + 1 + {(- 1)}^{1 + 3}}$

Этап 11.2.2.2

Добавим $1$ и $3$ .

$\frac{11}{1 + 1 + 1 + {(- 1)}^{4}}$

Этап 11.2.3

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$\frac{11}{1 + 1 + 1 + 1}$

Этап 11.2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{11}{2 + 1 + 1}$

Этап 11.2.5

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{11}{3 + 1}$

Этап 11.2.6

Добавим $3$ и $1$ .

$\frac{11}{4}$

Этап 12

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{11}{4}$

Десятичная форма:

$2.75$