Математический анализ Примеры

$(x + 1) (x + 2) (x + 3)$

Этап 1

Запишем $(x + 1) (x + 2) (x + 3)$ в виде функции.

$f (x) = (x + 1) (x + 2) (x + 3)$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int (x + 1) (x + 2) (x + 3) d x$

Этап 4

Пусть $u = x + 3$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u = x + 3$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [x + 3]$

Этап 4.1.2

По правилу суммы производная $x + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 4.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 4.1.4

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 4.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 4.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int (u - 3 + 1) (u - 3 + 2) u d u$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Добавим $- 3$ и $1$ .

$\int (u - 2) (u - 3 + 2) u d u$

Этап 5.2

Добавим $- 3$ и $2$ .

$\int (u - 2) (u - 1) u d u$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int (u (u - 1) - 2 (u - 1)) u d u$

Этап 6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\int (u \cdot u + u \cdot - 1 - 2 (u - 1)) u d u$

Этап 6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\int (u \cdot u + u \cdot - 1 - 2 u - 2 \cdot - 1) u d u$

Этап 6.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\int (u \cdot u + u \cdot - 1) u + (- 2 u - 2 \cdot - 1) u d u$

Этап 6.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\int u \cdot u \cdot u + u \cdot - 1 u + (- 2 u - 2 \cdot - 1) u d u$

Этап 6.6

Применим свойство дистрибутивности.

$\int u \cdot u \cdot u + u \cdot - 1 u - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

Этап 6.7

Изменим порядок $u$ и $- 1$ .

$\int u \cdot u \cdot u - 1 \cdot u \cdot u - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

Этап 6.8

Возведем $u$ в степень $1$ .

$\int u^{1} u \cdot u - 1 u \cdot u - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

Этап 6.9

Возведем $u$ в степень $1$ .

$\int u^{1} u^{1} u - 1 u \cdot u - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

Этап 6.10

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int u^{1 + 1} u - 1 u \cdot u - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

Этап 6.11

Добавим $1$ и $1$ .

$\int u^{2} u - 1 u \cdot u - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

Этап 6.12

Возведем $u$ в степень $1$ .

$\int u^{2} u^{1} - 1 u \cdot u - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

Этап 6.13

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int u^{2 + 1} - 1 u \cdot u - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

Этап 6.14

Добавим $2$ и $1$ .

$\int u^{3} - 1 u \cdot u - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

Этап 6.15

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$\int u^{3} - (u \cdot u) - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

Этап 6.16

Возведем $u$ в степень $1$ .

$\int u^{3} - (u^{1} u) - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

Этап 6.17

Возведем $u$ в степень $1$ .

$\int u^{3} - (u^{1} u^{1}) - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

Этап 6.18

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int u^{3} - u^{1 + 1} - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

Этап 6.19

Добавим $1$ и $1$ .

$\int u^{3} - u^{2} - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

Этап 6.20

Возведем $u$ в степень $1$ .

$\int u^{3} - u^{2} - 2 (u^{1} u) - 2 \cdot - 1 u d u$

Этап 6.21

Возведем $u$ в степень $1$ .

$\int u^{3} - u^{2} - 2 (u^{1} u^{1}) - 2 \cdot - 1 u d u$

Этап 6.22

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int u^{3} - u^{2} - 2 u^{1 + 1} - 2 \cdot - 1 u d u$

Этап 6.23

Добавим $1$ и $1$ .

$\int u^{3} - u^{2} - 2 u^{2} - 2 \cdot - 1 u d u$

Этап 6.24

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$\int u^{3} - u^{2} - 2 u^{2} + 2 u d u$

Этап 6.25

Вычтем $2 u^{2}$ из $- u^{2}$ .

$\int u^{3} - 3 u^{2} + 2 u d u$

Этап 7

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int u^{3} d u + \int - 3 u^{2} d u + \int 2 u d u$

Этап 8

По правилу степени интеграл $u^{3}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{4} u^{4} + C + \int - 3 u^{2} d u + \int 2 u d u$

Этап 9

Поскольку $- 3$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 3$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} u^{4} + C - 3 \int u^{2} d u + \int 2 u d u$

Этап 10

По правилу степени интеграл $u^{2}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{4} u^{4} + C - 3 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int 2 u d u$

Этап 11

Поскольку $2$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} u^{4} + C - 3 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + 2 \int u d u$

Этап 12

По правилу степени интеграл $u$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{4} u^{4} + C - 3 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + 2 (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

Этап 13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим.

$\frac{u^{4}}{4} - u^{3} + 2 (\frac{1}{2} u^{2}) + C$

Этап 13.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $u^{2}$ .

$\frac{u^{4}}{4} - u^{3} + 2 \frac{u^{2}}{2} + C$

Этап 13.2.2

Объединим $2$ и $\frac{u^{2}}{2}$ .

$\frac{u^{4}}{4} - u^{3} + \frac{2 u^{2}}{2} + C$

Этап 13.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{u^{4}}{4} - u^{3} + \frac{2 u^{2}}{2} + C$

Этап 13.2.3.2

Разделим $u^{2}$ на $1$ .

$\frac{u^{4}}{4} - u^{3} + u^{2} + C$

Этап 14

Заменим все вхождения $u$ на $x + 3$ .

$\frac{{(x + 3)}^{4}}{4} - {(x + 3)}^{3} + {(x + 3)}^{2} + C$

Этап 15

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{4} {(x + 3)}^{4} - {(x + 3)}^{3} + {(x + 3)}^{2} + C$

Этап 16

Ответ ― первообразная функции $f (x) = (x + 1) (x + 2) (x + 3)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{4} {(x + 3)}^{4} - {(x + 3)}^{3} + {(x + 3)}^{2} + C$